已知函数 。（Ⅰ）判断函

已知函数 。（Ⅰ）判断函

解：（Ⅰ）函数 的定义域为R， ∴f（x）是奇函数。 （Ⅱ）函数f（x）在区间(0，1]上是增函数， 用单调性定义证明如下： 设 ，则 ， ， ∴ ，且 ， ∴ ， 即f（x）在(0，1]上是增函数。 （Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知当x∈[0，1]时， ； 又f（x）是奇函数，根据对称性得，当x∈[-1，1]时， ； 对于任意x∈[-1，1]， 恒成立 恒成立， ∴ 。

解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}
f（﹣x）=（﹣x）2ln|﹣x|=x2lnx=f（x）
∴f（x）为偶函数
（Ⅱ）当x＞0时，
若，则f'（x）＜0，f（x）递减；
若，则f'（x）＞0，f（x）递增．
递增区间是和；
递减区间是和．
（Ⅲ）要使方程f（x）=kx﹣1有实数解，
即要使函数y=f（x）的图象与直线y=kx﹣1有交点．函数f（x）的图象如图．
先求当直线y=kx﹣1与f（x）的图象相切时k的值．
当k＞0时，f'（x）=x·（2lnx+1）
设切点为P（a，f（a）），则切线方程为y﹣f（a）=f'（a）（x﹣a），
将x=0，y=﹣1代入，得﹣1﹣f（a）=f'（a）（﹣a）
即a2lna+a2﹣1=0（*）
显然，a=1满足（*）
而当0＜a＜1时，a2lna+a2﹣1＜0，
当a＞1时，a2lna+a2﹣1＞0
∴（*）有唯一解a=1此时k=f'（1）=1
再由对称性，k=﹣1时，y=kx﹣1也与f（x）的图象相切，
∴若方程f（x）=kx﹣1有实数解，
则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．