高二数学 若x＞0，y＞0，且x＋4y=1，则xy的最大值是_____. 求过程～

高二数学 若x＞0，y＞0，且x＋4y=1，则xy的最大值是_____. 求过程～

解：
y>0，则4y>0
x>0，4y>0
由均值不等式得：x+4y≥2√(x·4y)
x+4y=1
2√(x·4y)≤1
4√(xy)≤1
√(xy)≤1/4
xy≤1/16
xy的最大值是1/16

解由xy =1/4×x×4y ≤1/4[(x+4y)/2]^2 =1/4×1/4 =1/16 故xy的最大值为1/16.

x+4y=1≥2根号(x*4y)=2根号(4xy)=4倍根号(xy) xy≤(1/4)²=1/16 希望对您有所帮助 如有问题，可以追问。 谢谢您的采纳

x=1-4y>0 推得y<1/4 推得0<y<1/4 xy=(1-4y)*y=y-4y^2 二次函数最大值点在-b/2a=1/8 b=1,a=-4,c=0 推得(xy)max=(1-4*1/8)*1/8=1/16 所以最大值为1/16

0≤(x-4y)^2=x^2-8xy+16y^2, 16xy≤x^2+8xy+16y^2=(x+4y)^2=1, xy≤1/16, 当x=4y时，即x=1/2,y=1/8时，等号成立， 所以，xy的最大值为1/16。

换元法，把x换成1-4y,然后xy=y-4y∧2，y范围是0＜y＜1/4,所以最大值是y=1/8时，最大值为1/16