数学高中：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，两定点A B满足|向量OA|=|向量OB|=向量OA•向量OB=2

数学高中：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，两定点A B满足|向量OA|=|向量OB|=向量OA•向量OB=2

向量OA·向量OB=4cos∠AOB=2
∠AOB=60°
设向量OA(√2·cosθ，√2sinθ），则向量OB（√2cos（ θ+60°），√2sin（θ+60°））；
向量OP=(√2(λcosθ+μcos（θ+60°），√2（λsinθ+μsin（θ+60°））
｜OP｜=[√2(λcosθ+μcos（θ+60°）]²+[√2（λsinθ+μsin（θ+60°）]²
=2(λ²cos²θ+2λμcosθcos（θ+60°）+μ²cos²(θ+60°))+2(λ²sin²θ+2λμsinθsin(θ+60°)+μ²cos²(θ+60°))
=2λ²+2μ²+4λμcos60°
=2λ²+2μ²+2λμ
=2（λ+μ）²-2λμ
∵|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R
∴-1≤λ+μ≤1
∴2（λ+μ）²的最大值2，最小值0
当μ＞0，λ＞0，μ+λ≤1时
2λμ≤（λ+μ）²/2=1
∴-1=-(λ²+μ²)²≤2λμ≤(λ²+μ²)²/2=1
∴1≤｜OP｜≤3
则点P所表示的区域是以O为圆心，OP=3为半径的圆的面积减去以O为圆心，OP=1为半径的圆的面积
S=9π-π=8π