求半径r的球的内接四棱锥的体积最大值
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解决时间 2021-03-27 18:37
- 提问者网友：雾里闻花香
- 2021-03-27 07:07
求半径r的球的内接四棱锥的体积最大值
最佳答案
- 五星知识达人网友：不甚了了
- 2021-03-27 07:13
球内接四棱锥的底面与球面的交线是圆，所以球内接四棱锥的底面是圆内接四边形。要球内接四棱锥的体积最大，需球内接四棱锥的底面面积最大，此时球内接四棱锥的底面是正方形，设其边长为a.
球O内接四棱锥S-ABCD的体积最大时SO⊥平面ABC于E,则E是正方形ABCD的中心。设SE=h,由勾股定理，OA^2=OE^2+AE^2，
∴r^2=(h-r)^2+(a/√2)^2,
∴h^2-2hr+a^2/2=0,
∴a^2=4hr-2h^2,
球O内接四棱锥S-ABCD的体积V=(1/3)a^2h=(1/3)(4rh^2-2h^3),
令V'=(1/3)(8rh-6h^2)=0,得h=4r/3,
此时a^2=16r^2/9,V取最大值（64/81）r^3.
球O内接四棱锥S-ABCD的体积最大时SO⊥平面ABC于E,则E是正方形ABCD的中心。设SE=h,由勾股定理，OA^2=OE^2+AE^2，
∴r^2=(h-r)^2+(a/√2)^2,
∴h^2-2hr+a^2/2=0,
∴a^2=4hr-2h^2,
球O内接四棱锥S-ABCD的体积V=(1/3)a^2h=(1/3)(4rh^2-2h^3),
令V'=(1/3)(8rh-6h^2)=0,得h=4r/3,
此时a^2=16r^2/9,V取最大值（64/81）r^3.
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