哪些性质可作为包含1和-1两个元素的集合的特征性质

哪些性质可作为包含1和-1两个元素的集合的特征性质

名词解释　　定义：不含任何元素的集合称为空集。表示方法：用符号Φ表示　　空集的性质： 空集是一切集合的子集。　　对任意集合 A，空集是 A 的子集； 　　∀A: = A 　　对任意集合 A, 空集和 A 的交集为空集： 某种事物不存在，就是空集。　　∀A: A ∩ 　　对任意集合 A, 空集和 A 的笛卡尔积为空集： 　　∀A: A × 　　空集的唯一子集是空集本身： 　　∀A: A ⊆ 　　空集的元素个数（即它的势）为零；特别的，空集是有限的： 　　| 的每个元素 x都属于 A。若这条性质不为真，那 中没有元素，也就没有 的每个元素都属于 A， 即 ，它就可以被定义为空集。 空集的运算编辑本段　　空集（作为集合）上的运算也可能使人迷惑。（这是一种空运算。）例如：空集元素的和为 0，而它们的积为 1（见空积）。这可能看上去非常奇怪，空集中没有元素，他们是怎么相加和相乘的呢？最终，这些运算的结果更多被看成是运算的问题，而不是空集的。比如，可以注意到 0 是加法的单位元，而 1 是乘法的单位元。 空集和 0编辑本段　　根据定义，空集有 0 个元素，或者称其势为 0。然而，这两者的关系可能更进一步：在标准的自然数的集合论定义中，0 被定义为空集。 空集的范畴论编辑本段　　若 A 为集合，则恰好存在从 B= c= 　　例如，“A是B的子集”，意思是A的任何一个元素都是B的元素，即由任一 ，可以推出 ，但不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合．因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的． 　　空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素．由此也可看到，把A是B的真子集解释成A是由B的部分元素组成的集合也是不确切的．正确的说法应该把真子集的两个特征：“A是B的子集”和“B中至少有一个元素不属于A”都指出． 　　“空集是任何集合的子集”这句话是正确的，但是把空集说成说成是任何集合的真子集就不确切．因为空集是它本身的子集．正确的说法是“空集是任何非空集合的真子集”．总之，对于概念的解释，语言表达必须确切． 　　再如，“ AB是A在全集B中的补集”，不能把它简单地说成 AB是A的补集，因为补集的概念是相对而言的，集合A在不同的全集中的补集是不同的，所以在描述补集概念时，一定要注明是在哪个例如，属于符号“ ”、不属于符号“ ”，它们只能用在元素与集合符号之间；包含关系“ ”“ ”、包含于（被包含）符号“ ”或“ ”，它们只能用在两个集合符号之间．对此，必须引起学生充分注意，不能用错，不要出现把 表示成 ，或 之类的错误． 　　又如， 是含有一个元素的集合， 是不含任何元素的集合，因此，有 ，不能写成 ， ． 　　关于子集与真子集的记法，教科书中采用的是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意． 　　关于补集，新的国家标准规定，集合A中子集B的补集或余集记为C A B ，如果行文中集合A已经很明确，则常常可以省去符号A，而记为C B． 　　集合中的补集，简单的说集合A的补集是没有意义的．