定义在R上的增函数y=f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(k·3^x
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解决时间 2021-02-23 12:25
- 提问者网友:低吟詩仙的傷
- 2021-02-22 16:53
定义在R上的範恭顿枷塥磺舵委罚莲增函数y=f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(k·3^x)+f(3^x-9^x-2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围
最佳答案
- 五星知识达人网友:刀戟声无边
- 2021-02-22 17:38
令x=0,y=0,有f(0+0)==f(0)+f(0),可得f(0)=0
f(k·3^x)+f(3^x-9^x-2)=f(k·3^x+3^x-9^x-2)<0=f(0)
又因为f(x)是定义在R上的增函数
故有k·3^x+3^x-9^x-2<0
令t=3^x,则t的范围是(0,+无穷)
有g(t)=-t^2+(k+1)t-2<0对任意t属于(0,+无穷)恒成立。
【接下来是分类讨论,按照对称轴t=k+1和直线x=0的位置关系来分类:】
1)(k+1)/2<0,g(0)=-2<0,由图像性质可知g(t)&範恭顿枷塥磺舵委罚莲lt;0对任意t属于(0,+无穷)恒成立。
2)(k+1)/2=0,g(0)=-2<0,由图像性质可知g(t)<0对任意t属于(0,+无穷)恒成立。
3)(k+1)/2>0,g(0)=-2<0,由图像性质可知g(t)<0要对任意t属于(0,+无穷)恒成立,必须让g(t)的最大值小于0,实际上就是关于t的方程-t^2+(k+1)t-2=0没有实数解。
有(k+1)^2-8<=0,解得k属于(-2根号2-1,2根号2-1)
综上可知k的范围是(-无穷,2根号2-1]
f(k·3^x)+f(3^x-9^x-2)=f(k·3^x+3^x-9^x-2)<0=f(0)
又因为f(x)是定义在R上的增函数
故有k·3^x+3^x-9^x-2<0
令t=3^x,则t的范围是(0,+无穷)
有g(t)=-t^2+(k+1)t-2<0对任意t属于(0,+无穷)恒成立。
【接下来是分类讨论,按照对称轴t=k+1和直线x=0的位置关系来分类:】
1)(k+1)/2<0,g(0)=-2<0,由图像性质可知g(t)&範恭顿枷塥磺舵委罚莲lt;0对任意t属于(0,+无穷)恒成立。
2)(k+1)/2=0,g(0)=-2<0,由图像性质可知g(t)<0对任意t属于(0,+无穷)恒成立。
3)(k+1)/2>0,g(0)=-2<0,由图像性质可知g(t)<0要对任意t属于(0,+无穷)恒成立,必须让g(t)的最大值小于0,实际上就是关于t的方程-t^2+(k+1)t-2=0没有实数解。
有(k+1)^2-8<=0,解得k属于(-2根号2-1,2根号2-1)
综上可知k的范围是(-无穷,2根号2-1]
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- 1楼网友:过活
- 2021-02-22 17:44
令x=y=0
f(x+y)=f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
令y=-x
f(x+y)=f(0)=f(x)+f(-x)=0
函数是定义在r上的奇函数。
f(k·3^x)+f(3^x-9^x-2)<0
f(k·3^x)<-f(3^x-9^x-2)
f(k·3^x)<f(9^x-3^x+2)
函数是增函数,则
k·3^x<9^x-3^x+2
(3^x)^2-(k+1)·3^x+2>0
3^x恒>0,令t=3^x,g(t)=t^2-(k+1)t+2 (t>0)
即t>0时,g(t)恒>0,分两种情况讨论:
(1)
方程t^2-(k+1)t+2=0判别式<0
[-(k+1)]^2-8<0
解得-1-2√2<k<-1+2√2
(2)
方程判别式≥0,对称轴t=(k+1)/2≤0 g(0)≥0
方程判别式≥0,则k≤-1-2√2或k≥-1+2√2
(k+1)/2≤0 k≤-1
g(0)≥0 2>0,不等式成立。
综上,得k<2√2-1
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