设β是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,α1,α2,...,αn-r是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系,

设β是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,α1,α2,...,αn-r是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系,
证明β,α1,α2,...,αn-r线性无关.（线性代数,

证:设 k1α1+k2α2+.,+kn-rαn-r+kβ = 0.(*)
用A左乘等式两边得
k1Aα1+k2Aα2+.,+kn-rAαn-r+kAβ = 0.
由已知 β是非齐次线性方程组Ax=b的解,α1,α2,...,αn-r是Ax=0的解,
所以 Aαi=0,i=1,2,...,n-r,Aβ = b
所以有 0 + 0 +.+0+ kb = 0
由b不等于0,得 k=0.代入(*)式得
k1α1+k2α2+.,+kn-rαn-r = 0
而α1,α2,...,αn-r是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系,是线性无关的
所以 k1=k2=...=kn-r=0.
即,若 k1α1+k2α2+.,+kn-rαn-r+kβ = 0.(*)
则必有 k = k1=k2=...=kn-r=0.
所以 β,α1,α2,...,αn-r线性无关.