求极限Xn=1/(n^2+1)+2/(n^2+2)+3/(n^2+3)+……+n/(n^2+n)

求极限Xn=1/(n^2+1)+2/(n^2+2)+3/(n^2+3)+……+n/(n^2+n)

k/(n^2+n)=Xn=∑k/(n^2+k) <=∑k/n^2=1/n^2 *∑k=1/n^2 *n(n+1)/2=(n+1)/2n
这说明limXn<=1/2
Xn=∑k/(n^2+k) >=∑k/(n^2+n)=1/(n^2+n) *∑k=1/2
这说明limXn>=1/2

所以当n→∞时 limXn=1/2

利用极限的夹逼准则来做：
k/(n^2+n)=Xn=∑k/(n^2+k) <=∑k/n^2=1/n^2 *∑k=1/n^2 *n(n+1)/2=(n+1)/2n
limXn<=1/2
Xn=∑k/(n^2+k) >=∑k/(n^2+n)=1/(n^2+n) *∑k=1/2
limXn>=1/2

n = 100000;
sum =0;
for (i=1;i{
sum += i/((n*n)+i);
}
document.write(sum)
结果为：0.49999166674166906
所以极限是1/2

k/(n^2+n)=Xn=∑k/(n^2+k) <=∑k/n^2=1/n^2 *∑k=1/n^2 *n(n+1)/2=(n+1)/2n
limXn<=1/2
Xn=∑k/(n^2+k) >=∑k/(n^2+n)=1/(n^2+n) *∑k=1/2
limXn>=1/2.

用积分做！！
Xn=∑k/(n^2+k) =∑1/(n*(n/k)+1) =
=(1/n)*∑1/(1/(k/n)+1/n)
因为n会趋于无穷大1/n就会很小取dx=1/n,k/n=x(k)
得积分为从0到1得积分 积分函数为1/{1/x +dx}=x
即x从0到1的积分 显然就为1/2

夹逼定理做
xn>an=1/(n^2+n)+2/(n^2+n)+3/(n^2+n)+……+n/(n^2+n)xnan=1/2n(n+1)/n^2+n
bn=1/2n(n+1)/n^2
lim an=1/2
lim bn=1/2
所以极限是1/2