已知函数f（x）=ex-ax，其中e为自然对数的底数，a为常数．（1）若对函数f（x）存在极小值，且极小值为0，

已知函数f（x）=ex-ax，其中e为自然对数的底数，a为常数．（1）若对函数f（x）存在极小值，且极小值为0，求a的值；（2）若对任意x∈[0，π2]，不等式f（x）≥ex（1-sinx）恒成立，求a的取值范围．

（1）∵f（x）=ex-ax，∴f′（x）=ex-a，
当a≤0时，f′（x）＞0，函数在R上是增函数，从而函数不存在极值，不合题意；
当a＞0时，由f′（x）＞0，可得x＞lna，由f′（x）＜0，可得x＜lna，∴x=lna为函数的极小值点，
由已知，f（lna）=0，即lna=1，∴a=e；
（2）不等式f（x）≥ex（1-sinx），即exsinx-ax≥0，
设g（x）=exsinx-ax，则g′（x）=ex（sinx+cosx）-a，g″（x）=2excosx，
x∈[0，
π
2 ]时，g″（x）≥0，则g′（x）在x∈[0，
π
2 ]时为增函数，∴g′（x）=g′（0）=1-a．
①1-a≥0，即a≤1时，g′（x）＞0，g（x）在x∈[0，
π
2 ]时为增函数，∴g（x）min=g（0）=0，此时g（x）≥0恒成立；
②1-a＜0，即a＞1时，存在x0∈（0，
π
2 ），使得g′（x0）＜0，从而x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，∴g（x）在[0，x0]上是减函数，
∴x∈（0，x0）时，g（x）＜g（0）=0，不符合题意．
综上，a的取值范围是（-∞，1]．

（i）f′（x）=ex[ax+（a+1）]…1 ①．当a=0时，f′（x）=ex  在r上递增…2    ②．当a＞0时，（-∞，- a+1 a ）上递减，（- a+1 a ，+∞）递增…3 ③．当a＜0时，（-∞，- a+1 a ）上递增，（- a+1 a ，+∞）递减…4 （ii）g（x）=xlnx，g′（x）=1+lnx…5    g（x）在（0， 1 e ）上递减，在（ 1 e ，+∞）上递增…6 ①．当0＜t≤ 1 e 时，t+2＞ 1 e ．gmin（x）=g（ 1 e ）= 1 e ln 1 e =- 1 e …7    ②．当t＞ 1 e 时，gmin（x）=g（t）=tlnt…8 （iii）∵2  1 x ＞xm＞0，所以ln2  1 x ＞lnxm，得m＞ ln2 xlnx …10   令y= ln2 xlnx ，y′= ?ln22(1+lnx) (xlnx)2 …11 在（0， 1 e ）递增，在（ 1 e ，+∞）递减． 所以ymax=-eln2….12    所以：m＞-eln2…..13