△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，求证B＜π2

△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，求证B＜

π

2

证明：方法一：已知
1
a+
1
c＝
2
b．
得b＝
2ac
a+c，
a2+c2?b2＝a2+c2?(
2ac
a+c)2≥2ac?
4a2c2
(a+c)2=2ac(1?
2ac
(a+c)2)≥2ac(1?
2ac
4ac)＞0．
即cosB=
a2+c2?b2
2ac＞0
故B＜
π
2
法2：反证法：假设B≥
π
2．
则有b＞a＞0，b＞c＞0．
则
1
b＜
1
a，
1
b＜
1
c
可得
2
b＜
1
a+
1
c与已知矛盾，
假设不成立，原命题正确．