如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达B，C点），过D作∠ADE=45°，

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达B，C点），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数表达式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

（1）证明：由图知和已知条件：
∵∠ADB=∠DAC+∠C=∠DAC+45°，
∴∠DEC=∠DAC+∠ADE=∠DAC+45°，
∴∠ADB=∠DEC；
又∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE．
（2）由△ABD∽△DCE，
∴
AB
DC＝
BD
CE，
∵AB=2，BD=x，DC=2
2?x，
CE=2-y代入得4-2y=2
2x?x2?y＝
1
2x2?
2x+2．
（3）①若AE=DE，则DE⊥AC，AD⊥BC，DE⊥AC，
且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=
1
2AC=1．
②如图2，若AD=DE，由（1）条件知△ABD∽△DCE，
∴△ABD≌△DCE（有一边对应相等的两相似三角形全等），
∴AB=DC，
2=2
2?x，
x=2
2?2，
BD=CE，
AE=2-CE=4?2
2，
③若AD=AE，
则∠ADE=∠AED=45°，∠DAE=90°，点D在B处没走，
则AD≠AE．

试题解析：

（1）求出三角形的两个角相等便可证明两三角形相似；
（2）利用△ABD∽△DCE，