数学老师 数学

如图，AD为△ABC的高，E是AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD。求证：BE⊥AC。  写出理由  并说明依据

 

证明：如图

　 ∵AD为△ABC的高　 ∴∠BDA=90°

　    在△BFD与△ACD中

    ∵ BF=AC

       FD=CD

　   ∠BDF=∠ADC=90 °

　∴ △BFD≌△ACD　　（LH）

   ∴ ∠1=∠2  （全等三角形对应角相等地）

   ∵ ∠3=∠4   （对顶角相等）

   ∴ ∠BEA=∠ADC=90 °  （三角形内角和为180°）

    即   BE⊥AC

    希望对你有所帮助    数仙そ^_^

在Rt△ADC与Rt△BDF中，

    BF=AC

    FD=CD

∴Rt△ADC≌Rt△BDF（HL）

∴∠DAC=∠FBD

∵∠BFD=∠AFE

∴∠AEB=∠ADB=90°

∴BE⊥AC

因为BF=AC，FD=DC，根据HL可得三角形BFD全等于三角形ACD，所以∠C=∠BFD，因为∠BFD=∠AFE且∠C+∠DCA=90°，所以∠AFE+∠DAC=90°，所以BE⊥AC

BF=AC,FD=CD,AD垂直BC,所以直角三角形BDF全等于直角三角形ADC,

所以角FBD=角FAE

又角BFD=角AFE

所以角BDF=角AEF=90°

∴BE⊥AC

因为AD垂直于BC， 所以，在直角三角形ACD和BDF中，BF=AC FD=CD， 所以，直角三角形BDF和ADC为相等三角形， 所以角BFD=角BCA。 又因为CBE角=角CBE， 所以三角形BDF相似于三角形BEC， 又因为AD垂直于BD 所以BE垂直于AC

BF=AC，FD=CD且∠BDF=∠ADC=90°所以△BFD全等于△ACD所以∠DBF=∠DAC所以∠AEF=∠BDF=90°即BE⊥AC