已知函数f(x)的定义域为R,且f(a+b)=f(a)xf(b),当x>0时,f(x)>1.(1)求f(0);(2)证明
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解决时间 2021-07-24 21:53
- 提问者网友：刺鸟
- 2021-07-24 14:04
已知函数f(x)的定义域为R,且f(a+b)=f(a)xf(b),当x>0时,f(x)>1.(1)求f(0);(2)证明:f(x)是增函数
最佳答案
- 五星知识达人网友：患得患失的劫
- 2021-07-24 14:54
（1）由于f(a+b)=f(a)xf(b),则f(0+X)=f(0)xf(X)
当X>0时,有f(x)>1,所以f(0)=1
（2）f(a+b)=f(a)xf(b)则,f(2x)=f(x)xf(x),则对任意x,f（x）>0
又有f(x-x)=f(x)xf(-x)=1,当x>0时,f(x)>1,则f（-x）x1
f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)/2+(x2+x1)/2]-f[(x1-x2)/2+(x1+x2)/2]
=f[(x2-x1)/2]xf[(x2+x1)/2]-f[(x1-x2)/2]xf[(x1+x2)/2]
=f[(x2+x1)/2]{f[(x2-x1)/2]-f[(x1-x2)/2]}
由于(x2-x1)/2>0,(x1-x2)/21,f[(x1-x2)/2]0,则函数f(x)为增函数
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