已知函数f（x）=2cos2x+23sinxcosx+a，且当x∈[0，π6]时，f（x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）

已知函数f（x）=2cos2x+23sinxcosx+a，且当x∈[0，π6]时，f（x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调增区间；（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得图象向右平移π12个单位，得到函数y=g（x），求方程g（x）=2在区间[0，π2]上的所有根之和．

（1）f（x）=2cos2x+2



3 sinxcosx+a
=cos2x+1+



3 sin2x+a
=2sin（2x+
π
6 ）+a+1，
∵x∈[0，
π
6 ]，
∴2x+
π
6 ∈[
π
6 ，
π
2 ]，
∴f（x）min=a+2=2，故a=0，
∴f（x）=2sin（2x+
π
6 ）+1，
由2kπ-
π
2 ≤2x+
π
6 ≤2kπ+
π
2 （k∈Z），
解得：kπ-
π
3 ≤x≤kπ+
π
6 （k∈Z），
故f（x）的单调增区间是[kπ-
π
3 ，kπ+
π
6 ]（k∈Z），
（2）g（x）=2sin[4（x-
π
12 ）+
π
6 ]+1=2sin（4x-
π
6 ）+1，
由g（x）=2得sin（4x-
π
6 ）=
1
2 ，
则4x-
π
6 =2kπ+
π
6 或2kπ+
5π
6 （k∈Z），
解得x=
kπ
2 +


千年殕佝
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发布于2014-10-23 18:12


评论

cos2x=cos2x-sin2x= cos2x-(1- cos2x)=2 cos2x-1 故cos2x=1/2(1+cos2x) 从而 f(x)=1/2+1/2cos2x+√3/2sin2x+a=1/2+a+sin2xcos(π/6)+cos2xsin(π/6)=1/2+a+sin(2x+π/6) 当x∈[0,π /2]时， 2x+π/6∈[π/6,7π/6 ]，即sin(2x+π/6) ∈[-1/2,1] 所以此时f(x)min=a=2 故a=2.