请问，下面说同余式可像等式那样进行代换，例如，x≡2(mod5),然后又列了一个含有x的2次方程来说明它与

请问，下面说同余式可像等式那样进行代换，例如，x≡2(mod5),然后又列了一个含有x的2次方程来说明它与

问题一:

先看等式的性质吧。
x=2
那么
2xx-x+3=2*4-2+3=9

同余式类似
x==2 mod 5
那么
2xx-x+3==9 mod 5
如此而己。9 mod 5转化为 4 mod 5则也这个没有直接关系了，那是显然的化简而已。

再就是书上这句话：同余式可以象等式一样代换
这句话是不严格的，或者说只在一定条件下成立。同余关系x=r mod m相当于 x=r+mk，k为整数。同余关系是一种线性关系，对于代数和、积、商具有一定的代换性，这可以用多项式方法来证明，其中常用到二项式定理及其推广（多项式定理）。

但是，对于指数式，是不能象等式一样随意代换的。
如a==2 mod 10
那么对于另一个数b
b^a==b^2 mod 10不一定成立。
更复杂的函数，自然也是不能随便的了。
学习了欧拉函数定理，则更明确原因。

问题二：
同样与等式的消去律进行类比。
等式的消去律：即两边同除一个非零（不为零）数，等式仍成立。
ax=ay
a<>0
则x=y

同余式呢，其消去律则是：同余式两边同除以一个与模非可约（与模不可约，或称既约，或称互质，或称互素）的数，同余式成立。
就是将等式的消去律中有“非零”换成为同余式的消去律中的“与模非可约”。

例如：6x==9 mod 7 等价于2x==3 mod 7
而6x==9 mod 15 不能等价于 2x==3 mod 15
而是 6x==9 mod 15 等价于 2x==3 mod 5 等价于 2x=3或 3+5或 3+10 mod 15即2x==3或8或13 mod 15

其实，还有一种更好的说法是这样的：
ax==ay mod m
等效于
x==y mod (m/gcd(m,a))
其中 k=gcd(X,Y,m)，gcd表示最大公因数greatest common divisor.
或写作gcf 即greateast common factor

更进一步，它是下面的结论的一个等价的形式：
X==Y mod m, 等效于
则X/k==Y/k mod m/k

x≡2(mod5)说明x=2或7或12……蓝线所示算式为了告诉你若x≡2(mod5)，则2x^2-x+3≡4(mod5)。
这要证的话可以用数学归纳法
x=5k-3，当k=1时2x^2-x+3=9≡4(mod5）成立
设当x=5k-3时成立
则2x^2-x+3=50k^2-65k+24≡4(mod5）成立
当x=5（k+1）-3时
原式=50k^2+35k+9=50k^2-65k+24+100k-15
因为50k^2-65k+24≡4(mod5），且100k-15≡0(mod5)
所以2x^2-x+3=9≡4(mod5）