勾股定理用出入相补法证明

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解决时间 2021-11-22 12:59

提问者网友：我一贱你就笑
2021-11-21 19:29

勾股定理用出入相补法证明

最佳答案

五星知识达人网友：神也偏爱
2021-11-21 19:58

如图：
正方形ABCD边长为a ，点B在AG上，
正方形EFGB边长为b ，点C在EB上，
正方形EHIA边长为c ，点H在FG上，
设IJ⊥AG交于J，HI交AG于K，AE交CD于L ；
∵ EA=EH=a，EB=EF=b，∠EBA=∠EFH=90°，
∴ Rt△EFH≌Rt△EBA，∠1=∠2, FH=BA=a ,
∴ Rt△EFH中，
   直角边FH=a，直角边EF=b，斜边EH=c ，
∵ ∠2=∠3=∠4=90°-∠EAB，∠1=∠2,
∴ ∠1=∠3，又EH=AI=a，∠EFH=∠AJI=90°，
∴ Rt△EFH≌Rt△AJI，JI=FH=a ，
∵ ∠5=∠3=90°-∠AIJ，∠3=∠4 ,
∴ ∠4=∠5，又DA=JI=a，∠ADL=∠IJK=90°，
∴ Rt△ADL≌Rt△IJK，
∵ ∠6=∠1=90°-∠EHF，∠1=∠2 ,
∴ ∠2=∠6，又EC=HB=b-a，∠LCE=∠KGH=90°
∴ Rt△LCE≌Rt△KGH ；
∴综上所述：正方形ABCD面积+正方形EFGB面积
  =正方形EHIA面积；
   即：a²+b²=c² ；
∴ 直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

全部回答

1楼网友：洒脱疯子
2021-11-22 00:00

我们先画一个直角三角形，然后在最短的直角边旁向三角形那一边加上一个正方形，为了清楚起见，以红色表示。又在另一条直角边下面加上另一个正方形，以蓝色表示。接著，以斜边的长度画一个正方形，如图五(b)。我们打算证明红色和蓝色两个正方形面积之和，刚好等於以斜边画出来的正方形面积。

留意在图五(b)中，当加入斜边的正方形后，红色和蓝色有部分的地方超出了斜边正方形的范围。现在我将超出范围的部分分别以黄色、紫色和绿色表示出来。同时，在斜边正方形内，却有一些部分未曾填上颜色。现在依照图五(c)的方法，将超出范围的三角形，移入未有填色的地方。我们发现，超出范围的部分刚好填满未曾填色的地方！由此我们发现，图五(a)中，红色和蓝色两部分面积之和，必定等於图五(c)中斜边正方形的面积。由此，我们就证实了勾股定理。

参考资料：http://staff.ccss.edu.hk/jckleung/jiao_xue/py_thm/py_thm.html

2楼网友：思契十里
2021-11-21 22:20

看上图

三角形为直角三角形，以勾a为边的正方形为朱方，以股b为边的正方形为青方。以盈补虚，将朱方、青放并成玹方。依其面积关系有a^+b^=c^.由于朱方、青方各有一部分在玄方内，那一部分就不动了。

以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。以赢补虚，只要把图中朱方（a2）的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形（c2 ）．由此便可证得a2+b2=c2

3楼网友：逐風
2021-11-21 22:13

假设AE,CD交点M.HI,AG交点N.AG上另一交点为O

将△ESM移至△ADM,△AOI移至△EFH,△OIN移至△HNG

则可得S四边形AEHI=S四边形ABCD+S四边形BEFG

所以：a2+b2=c2（在△ABE中看）

4楼网友：往事埋风中
2021-11-21 20:22

证明思路如下：证明正方形AEHI的面积等于正方形EBGF的面积加上正方形ABCD的面积
证明过程：
1，证明最上面的两个小直角三角形全等
2，证明右下角的两个小直角三角形全等
3，证明最右边的大直角三角形和最下角的大直角三角形全等
4，证明面积相等即可

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