已知圆C：x2+（y-1）2=5，直线l：mx-y+1-m=0（1）求证：当m∈R时，直线l与圆C恒有两个不同的交点；（2）

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解决时间 2021-03-09 12:53

提问者网友：遁入空寂
2021-03-08 19:50

已知圆C：x2+（y-1）2=5，直线l：mx-y+1-m=0（1）求证：当m∈R时，直线l与圆C恒有两个不同的交点；（2）设l与圆交于A、B两点，若|AB|=17，求l的倾斜角；（3）求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么？

最佳答案

五星知识达人网友：青灯有味
2021-03-08 19:58

（1）由于直线l的方程是mx-y+1-m=0，即 y-1=m（x-1），经过定点H（1，1），
而点H到圆心C（0，1）的距离为1，小于半径

5 ，故点H在圆的内部，故直线l与圆C相交，
故直线和圆恒有两个交点．
（2）∵R=

5 ，d=
|m|

m2+1 ，|AB|=

17 ，
∴根据垂径定理及勾股定理得：
17
4 =5-
m2
m2+1 ，
整理得：m2=3，解得：m=±

3 ，
∴直线l的倾斜角为：60°或120°．
（3）设AB中点M（x，y），当AB的斜率存在时，由题意可得CM⊥AB，故有KAB?KCM=-1．
∴
y?1
x?1 ?
y?1
x?0 =-1，化简可得(x?
1
2 )2+（y-1）2=
1
4 ，
即AB中点M的轨迹方程为(x?
1
2 )2+（y-1）2=
1
4 ．
当AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=1，此时AB的中点M的坐标为（1，1），
也满足(x?
1
2 )2+（y-1）2=
1
4 ．
综上可得，AB中点M的轨迹方程为(x?
1
2 )2+（y-1）2=
1
4 ．

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1楼网友：拜訪者
2021-03-08 20:14

解：
1、证明圆与直线恒有交点可以将两个方程转化为x的方程或者y的方程然后看其△值（b*b-4ac）来判断，只要△值恒大于0就可以判断恒有2个交点，中学知识；
x2+（y-1）2=5；
mx-y+1-m=0；
可以得到关于x的方程(m^2+1)x^2-2m^2x+m^2-5=0;
所以△=b*b-4ac=4*（4m*m+5）；
无论m∈r为何值，显然△恒大于0；
所以得证直线l与圆c总有两个不同的交点a b；
2、画图可知过圆心o（0，1）的与i垂直的直线与i交于c（x，y）点，当co的长度为根号3/2时，ab的弦长为根号17，现求c点坐标；
联立两条直线方程：
mx-y+1-m=0；
y-1=-1*x/m；
可解得x=m*m/（m*m+1）；
y=1-[m/（m*m+1）]；
所以co的长=根号下【[m*m/（m*m+1）]的平方+[m/(m*m+1)]的平方】=根号3/2；
解得m的平方=-1（舍）；
m的平方=3所以m=正负根号3；
而直线的i的斜率就等于m；即tanα=正负根号3，所以i的倾斜角为60°或者120°；
希望能够对你有帮助！
下次我绝对不会解决这样的问题了，耗了我半小时。以后你再这样真的没有人回答你的问题了，就算给10个悬赏分也比不给好啊！

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