设abc不等于0，且a+b+c=2,1/a+1/b+1/c=1/2,试说明：a,b,c中至少有一个为2
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解决时间 2021-12-18 08:27
- 提问者网友：孤凫
- 2021-12-18 04:39
设abc不等于0，且a+b+c=2,1/a+1/b+1/c=1/2,试说明：a,b,c中至少有一个为2
最佳答案
- 五星知识达人网友：妄饮晩冬酒
- 2021-12-18 04:52
解：由已知去分母得：
2(ab+bc+ca)=abc
所以：
(a-2)(b-2)(c-2)
=(ab-2a-2b+4)(c-2)
=c(ab-2a-2b+4)-2(ab-2a-2b+4)
=abc-2ca-2bc+4c-2ab+4a+4b-8
=abc-2(ca+bc+ab)+4(a+b+c)-8
=abc-abc+8-8
=0
由于(a-2)、(b-2)、(c-2)的乘积为0，所以三者之中至少有一个为0，也就是说，三者之中至少有一个等于2。
2(ab+bc+ca)=abc
所以：
(a-2)(b-2)(c-2)
=(ab-2a-2b+4)(c-2)
=c(ab-2a-2b+4)-2(ab-2a-2b+4)
=abc-2ca-2bc+4c-2ab+4a+4b-8
=abc-2(ca+bc+ab)+4(a+b+c)-8
=abc-abc+8-8
=0
由于(a-2)、(b-2)、(c-2)的乘积为0，所以三者之中至少有一个为0，也就是说，三者之中至少有一个等于2。
全部回答
- 1楼网友：野慌
- 2021-12-18 05:04
1/a+1/b+1/c=1/2 (bc+ac+ab)/abc=1/2 abc-2ab-2ac-2bc=0 (c-2)ab-2ac+4a-2bc+4b+4c-8=0 (c-2)ab-2a(c-2)-2b(c-2+4(c-2)=0 (c-2)(ab-2a-2b+4)=0 (c-2)(a(b-2)-2(b-2))=0 (a-2)(b-2)(c-2)=0 (a-2)=0 或(b-2)=0 或(c-2)=0 所以a、b、c中至少有一个等于2.
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