数学的不等式

2.已知x₁，x₂，…，x_n≥0，x₁+x₂+…+x_n≤1/2 ，

求证:(1-X1)(1-X2)……（1-Xn)>=1/2

 3.（IMO试题）在△ABC中, 分别是三边 的长，求证：a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)<=3abc

2.当x=1/2时，1-x=x=1/2,而x最大为1/2，且此时其他数都为0，而当x小于1/2时，1-x＞1/2，以此类推:(1-X1)(1-X2)……（1-Xn)中必定都是大于或等于1/2，所以:(1-X1)(1-X2)……（1-Xn)>=1/2

3.不妨设a>=b>=c
把不等式所有项都移到右边得：
a^2(a-b)+b^2(b-c)+c^2(c-a)+3abc-a^2c-b^2a-c^2b>=0
左边
=a^2(a-b)+b^2(b-c)+c^2(c-a)+ac(b-a)+ab(c-b)+bc(a-c)【把3abc分三份】
=a(a-c)(a-b)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)【上式中第1、4第2、5第3、6项合并】
=a(a-c)(a-b)+(b-c)(b^2-ab-c^2+ca)【上式后两项合并】
=a(a-c)(a-b)+(b-c)^2(b+c-a)
根据假设a-c>0,a-b>0,b+c-a>0上式括号中所有项都是非负数。
所以原不等式成立。当且仅当a=b=c时等号成立。

解法2：证明:  令a=y+z, b=z+x, c=x+y，则
abc=(x+y)(y+z)(z+x)
≥8√xy*√yz*√xz
=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
=a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)-2abc.
所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc.