已知等差数列an的各项不为零,求证1/a1a2+1/a2a3+...+1/an-1an=n-1/a1an

已知等差数列an的各项不为零,求证1/a1a2+1/a2a3+...+1/an-1an=n-1/a1an

注意到
1/an - 1/an+1=d/（an×an+1）；那么1/（an×an+1）=1/d（1/an - 1/an+1）
原式=1/d（1/a1-1/a2+1/a2-......-1/an)
=1/d(1/a1-1/an)=(an-a1)d/a1an
考虑an=a1+(n-1)d
因此原式=（n-1）/a1an

1/(a1a2)+1/(a2a3)+……+1/(aan)=(n-1)/(a1an),① 以n+1代n,得1/(a1a2)+1/(a2a3)+……+1/(aan)+1/(ana)=n/(a1a),② ②-①，1/(ana)=n/(a1a)-(n-1)/(a1an)， 去分母得a1=nan-(n-1)a, ∴an-a1=(n-1)(a-an), ∴a-an=（an-a1)/(n-1),设a2-a1=d,则 a3-a2=（a2-a1)/(2-1)=d, a4-a3=(a3-a1)/(3-1)=(a3-a2+a2-a1)/2珐珐粹貉诔股达瘫惮凯=(d+d)/2=d, 依此类推，a-an=d, ∴{an}是等差数列。

1/a[n-1]a[n]=1/d*(1/a[n-1]-1/a[n])[ ]代表下标 1/a1a2=1/d*(1/a1-1/a2) 1/a2a3=1/d*(1/a2-a/a3) .......... 1/a[n-1]a[n]=1/d*(1/a[n-1]-1/a[n]) 1/a1a2+1/a2a3+...+1/an-1an=1/d*(1/a1-1/an)=1/d*(an-a1)/a1an=1/d*(n-1)d/a1an=(n-1)/a1an