根号下x/1-x的原函数
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解决时间 2021-03-29 05:54
- 提问者网友：浩歌待明月
- 2021-03-28 16:45
根号下x/1-x的原函数
最佳答案
- 五星知识达人网友：鸠书
- 2021-03-28 18:21
令x=sin²t，那么dx=d(sin²t)=2sintcostdt，√(x/(1-x)=√(sin²t/cos²t)=sint/cost
∴原式=∫(sint/cost)*2sintcostdt=∫2sin²tdt=∫(1-cos2t)dt=t-1/2*sin2t+C
而sint=√x，∴t=arcsin√x，sin2t=2sintcost=2√x*√(1-x)=2√(x-x²)
∴原式=arcsin√x-√(x-x²)+C
∴原式=∫(sint/cost)*2sintcostdt=∫2sin²tdt=∫(1-cos2t)dt=t-1/2*sin2t+C
而sint=√x，∴t=arcsin√x，sin2t=2sintcost=2√x*√(1-x)=2√(x-x²)
∴原式=arcsin√x-√(x-x²)+C
全部回答
- 1楼网友：蓝房子
- 2021-03-28 19:02
x-x^2 = 1/4- (x-1/2)^2
let
x-1/2 = (1/2)sinu
dx= (1/2)cosu du
∫√[x/(1-x)] dx
=∫ x/√(x-x^2) dx
=∫ [ (1/2)+(1/2)sinu ] du
= (1/2)u -(1/2)cosu + C
= (1/2)arcsin(2x-1) -√(x-x^2) + C
let
x-1/2 = (1/2)sinu
dx= (1/2)cosu du
∫√[x/(1-x)] dx
=∫ x/√(x-x^2) dx
=∫ [ (1/2)+(1/2)sinu ] du
= (1/2)u -(1/2)cosu + C
= (1/2)arcsin(2x-1) -√(x-x^2) + C
- 2楼网友：老鼠爱大米
- 2021-03-28 18:44
因为这里书写不便，故将我的答案做成图像贴于下方，谨供楼主参考（若图像显示过小，点击图片可放大）
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