已知任意三角形ABC,其面积为S.做BC的平行线与AB、AC分别交于D、E.设三角形BDE的面积为M

已知任意三角形ABC,其面积为S.做BC的平行线与AB、AC分别交于D、E.设三角形BDE的面积为M

分析：由于△ADE与△BDE是等高的三角形,可得M/S△ADE=BD/AD,同理亦可得S△ADE/S△ABE=AD/AB,S△ABE/S=AE/AC,再由平行线分线段成比例的性质可得M与S的关系,进而即可求解证明：由于△ADE与△BDE是等高的三角形,故M/S△ADE=BD/AD=(AB-AD)/AD=AB/AD-1 --(1)又△ADE与△ABE也是等高三角形,故S△ADE/S△ABE=AD/AB --（2）同理,S△ABE/S=AE/AC --（3）又DE∥BC,故AD/AB=AE/AC,设此比值为x将（1）,（2）,（3）式相乘,得M/S=(AB/AD-1)•(AD/AB)•(AE/AC)=(1-AD/AB)·AD/AB即M/S=(1-x)x由M/S=(1-x)x=1/4-(x-1/2)·(x-1/2)≤1/4⇒M≤(1/4)·Sbtw,好好学习哦======以下答案可供参考======供参考答案1:参考几何供参考答案2:证明：过E点作EF∥AB，分成四个三角形，分别为⊿ADE、⊿BDE、⊿BEF、⊿EFC∵DE∥BC，EF∥AB∴S⊿BDE=S⊿BEF=MS⊿ABC=2M+S⊿ADE+S⊿EFC=S要证明M≤1/4S，只需证明S-4M≥0即可即S⊿ADE+S⊿EFC-2M≥0设⊿ADE和⊿EFC的高为h1和h2,∵DE∥BC，EF∥AB∴h1:h2=AE:EC=BF:FC设h1:h2=BF:FC=a则h1=a*h2;BF=a*FC∵S⊿ADE=0.5*DE*h1；⊿EFC=0.5*FC*h2；M=0.5*BF*h2;DE=BF∴S⊿ADE+S⊿EFC-2M=0.5*DE*h1+0.5*FC*h2-2*0.5*BF*h2=0.5*(BF*h1+FC*h2-2*BF*h2)=0.5*(FC*h2*a2++FC*h2-2*a*FC*h2)=0.5*FC*h2(a2-2a+1)=0.5*FC*h2(a-1)2≥0∴M≤1/4S

好好学习下