n^(n+1)和(n+1)^n比较大小
答案:5 悬赏:50 手机版
解决时间 2021-03-06 14:03
- 提问者网友：杀手的诗
- 2021-03-05 22:12
n^(n+1)和(n+1)^n比较大小
最佳答案
- 五星知识达人网友：第幾種人
- 2021-03-05 23:14
解答:
n^(n+1)/(n+1)^n
=n*n^n/(n+1)^n
=n*[n/(n+1)]^n
=n*[1/(1+1/n)]^n
=n/(1+1/n)^n
假设f(x)=x,g(x)=(1+1/x)^x,分析它们的图象得:
当x=e(自然对数)的时候,f(x)=g(x),f(x)/g(x)=1;
当xg(x),f(x)/g(x)>1;
当x>e(自然对数)的时候,f(x)(n+1)^n;
当n=e时,n^(n+1)=(n+1)^n;
当n>e时,n^(n+1)<(n+1)^n;
若n为自然数则:
当n=1,2时:n^(n+1)>(n+1)^n;
n>=3时:n^(n+1)<(n+1)^n;
n^(n+1)/(n+1)^n
=n*n^n/(n+1)^n
=n*[n/(n+1)]^n
=n*[1/(1+1/n)]^n
=n/(1+1/n)^n
假设f(x)=x,g(x)=(1+1/x)^x,分析它们的图象得:
当x=e(自然对数)的时候,f(x)=g(x),f(x)/g(x)=1;
当x
当x>e(自然对数)的时候,f(x)
当n=e时,n^(n+1)=(n+1)^n;
当n>e时,n^(n+1)<(n+1)^n;
若n为自然数则:
当n=1,2时:n^(n+1)>(n+1)^n;
n>=3时:n^(n+1)<(n+1)^n;
全部回答
- 1楼网友：神也偏爱
- 2021-03-06 03:21
解：首先要有条件n为自然数，要不没法做。
此题用数学归纳法，如果学过高等数学，还可以用单调性即可证明
n=1时，后面大
n=2时，后面大
n=3时，前面大
当n>3时
假设n=k时，前面大
即k^(k+1)>(k+1)^k，得k*(k/k+1)^k>1
当n=k+1时，前面=（k+1）^(k+2)
后面=（k+2)^（k+1）
前面/后面=（k+1）*(k+1/k+2)^（k+1）
【（k+1）*(k+1/k+2)^（k+1）】/【k*(k/k+1)^k】
=【（k²+2k+1）/（k²+2k）】^(k+1)>1
那么【（k+1）*(k+1/k+2)^（k+1）】>【k*(k/k+1)^k】>1
即前面大于后面
综上所述：
n=1时，后面大
n=2时，后面大
n》3时，前面大
证毕！
祝你开心！
此题用数学归纳法，如果学过高等数学，还可以用单调性即可证明
n=1时，后面大
n=2时，后面大
n=3时，前面大
当n>3时
假设n=k时，前面大
即k^(k+1)>(k+1)^k，得k*(k/k+1)^k>1
当n=k+1时，前面=（k+1）^(k+2)
后面=（k+2)^（k+1）
前面/后面=（k+1）*(k+1/k+2)^（k+1）
【（k+1）*(k+1/k+2)^（k+1）】/【k*(k/k+1)^k】
=【（k²+2k+1）/（k²+2k）】^(k+1)>1
那么【（k+1）*(k+1/k+2)^（k+1）】>【k*(k/k+1)^k】>1
即前面大于后面
综上所述：
n=1时，后面大
n=2时，后面大
n》3时，前面大
证毕！
祝你开心！
- 2楼网友：人類模型
- 2021-03-06 02:25
这个貌似比较麻烦..先闪了..不过我不同意楼上几位的观点..
因为没人说n是正整数...
因为没人说n是正整数...
- 3楼网友：千杯敬自由
- 2021-03-06 01:23
考虑(n+1)^n / n^(n+1)
=[(1+1/n)^n]*1/n
[(1+1/n)^n]在n趋于无穷时是趋于常数e的,所以上式趋于0,故对于足够大的n,
[(1+1/n)^n]*1/n<1
(n+1)^n
补充：好吧，经验算，当n=1,2,(n+1)^n>n^(n+1)，
当n>=3,(n+1)^n
=[(1+1/n)^n]*1/n
[(1+1/n)^n]在n趋于无穷时是趋于常数e的,所以上式趋于0,故对于足够大的n,
[(1+1/n)^n]*1/n<1
(n+1)^n
补充：好吧，经验算，当n=1,2,(n+1)^n>n^(n+1)，
当n>=3,(n+1)^n
- 4楼网友：患得患失的劫
- 2021-03-06 00:14
n=1,2 前面的大
n>2,后面的大
n>2,后面的大
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