高中数学归纳法难题

是否存在常数a,b，使得1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=(n+1)/3(an^2+bn)对一切正整数n都成立？证明结论  

 

用数学归纳法证明

 

1*2+2*3+3*4+...+n(n+1) = (1*2*3-0*1*2)/3+(2*3*4-1*2*3)/3+...+(n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1))/3
    = n(n+1)(n+2)/3 - 0*1*2/3
    =(n+1)(n^2+2n)/3

即a=1, b=2

证明：1）n=1, 1*2 = (1+1)*(1^2+2)/3成立
    2）假设n=k, 1*2+2*3+3*4+...+k(k+1) = (k+1)(k^2+2k)/3成立
    则n=k+1时, 1*2+2*3+3*4+...+k(k+1)+(k+1)*(k+2) = (k+1)(k^2+2k)/3 + (k+1)(k+2)
    = (k+1)/3*[(k^2+2k)+3(k+2)]
    =(k+1)(k^2+5k+6)/3
    =(k+1)(k+2)(k+3)/3
    =(k+2)(k+1)(k+1+2)/3
    =(k+2)[(k+1)^2+2(k+1)]/3成立

    由1）2），对任意正整数n，1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=(n+1)(n^2+2n)/3都成立

当n=1时，则有2=2(a+b)/3，即a+b=3，当n=2时，则有2+6=4a+2b，即2a+b=4，所以a=1，b=2，即存在常数a=1、b=2，使得1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=(n+1)(n²+2n)/3，证明如下：

当n=1时，左边=2，右边=2（1²+2*1）/3=2，所以等式成立，

假设当n=k时，结论成立，即1*2+2*3+3*4+...+k(k+1)=(k+1)(k²+2k)/3，

当n=k+1时，1*2+2*3+3*4+...+k(k+1)+(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k²+2k)/3+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k/3+1)=((k+1)(k+1+1)(k+1+2)/3=(k+1+1)[(k+1)²+2(k+1)]/3