是否存在常数a,b,使得1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=(n+1)/3(an^2+bn)对一切正整数n都成立?证明结论
用数学归纳法证明
是否存在常数a,b,使得1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=(n+1)/3(an^2+bn)对一切正整数n都成立?证明结论
用数学归纳法证明
当n=1时,则有2=2(a+b)/3,即a+b=3,当n=2时,则有2+6=4a+2b,即2a+b=4,所以a=1,b=2,即存在常数a=1、b=2,使得1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=(n+1)(n²+2n)/3,证明如下:
当n=1时,左边=2,右边=2(1²+2*1)/3=2,所以等式成立,
假设当n=k时,结论成立,即1*2+2*3+3*4+...+k(k+1)=(k+1)(k²+2k)/3,
当n=k+1时,1*2+2*3+3*4+...+k(k+1)+(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k²+2k)/3+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k/3+1)=((k+1)(k+1+1)(k+1+2)/3=(k+1+1)[(k+1)²+2(k+1)]/3