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如图，已知点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上，并且AF平分∠EAD求证BE+DF=AE

将△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABG

则△ADF≌△ABG
∴ ∠G=∠AFD，∠GAB=∠FAD，DF=BG
∴ BE+DF=BE+BG=GE
又∵ AF平分∠EAD
∴ ∠FAD=∠FAE=∠GAB
∴ ∠GAB+∠BAE=∠FAE+∠BAE
即∠GAE=∠BAF

又∵ AB∥CD
∴ ∠BAF=∠AFD＝∠GAE=∠G
∴ 在△EAG中，AE=GE
即BE+DF=AE.

证明：延长EB到G，使BG=DF，

因为四边形ABCD为正方形，

所以AB=AD，∠ABG=∠ADF=90°，

所以△ABG≌△ADF（ASA），

所以AG=AF，∠BAG=∠DAF，∠AGB=∠AFD，

又因为∠BAF+∠DAF=90°，

所以∠BAF+∠BAG=90°，

又因为AF平分∠EAD，

所以∠DAF=∠EAF=∠BAG，

又因为∠AGB=90°-∠BAG，∠EAG=90°-∠EAF，

则∠AGB=∠EAG，

所以EG=AE，

因为EG=BE+BG=BE+DF，

所以BE+DF=AE。

延长EB至点G，使BG=DF，连接AG ∵正方形ABCD中， AB=AD，∠ADF=∠ABG=90°，BG=DF ∴△AGB≌三△AFD ∴∠GAB=∠FAD，∠AGB=∠AFD ∵ AF平分∠DAE ∴∠EAF=∠FAD ∵∠GAB=∠FAD ∴∠GAE=∠BAF ∵正方形ABCD内 AB//CD ∴ ∠BAF=∠AFD ∵∠AGB=∠AFD ∴ ∠BAF=∠AGB ∵∠GAE=∠BAF ∴ ∠GAE=∠AGB ∴ AE=GE=BE+BG ∵ BG=DF ∴ AE=BE+DF