已知三角形ABC的外接圆半径6若面积S=a^2-(b-c)^2且SinB+SinC=4/3求SinA

已知三角形ABC的外接圆半径6若面积S=a^2-(b-c)^2且SinB+SinC=4/3求SinA

这题我做过由正弦定理：sinB=b/2R,sinC=c/2R,代入sinB+sinC=4/3,得：b+c=(4/3)*2R=(4/3)*2*6=16.(1)S=a²-(b-c)²=a²-(b+c)²+4bc=a²-16²+4bc=a²-256+4bc.(2)S=(1/2)bcsinA=(1/2)bc(a/2R)=abc/24.(3)又 S=a²-(b-c)²=[a+(b-c)][(a-(b-c)]=(a+b-c)(a+c-b)=4[(a+b-c)/2][(a+c-b)/2]=4[(a+b+c)/2-c][(a+b+c)/2-b]=4(p-c)(p-b)故有 (p-b)(p-c)=S/4.(4)其中p=(a+b+c)/2=(a+16)/2=a/2+8将(4)代入海伦公式：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=√[p(p-a)(S/4)]两边平方,消去一个S,并将P值代入,得：S=（1/4)p(p-a)=(1/4)(a/2+8)(a/2+8-a)=(1/4)(a/2+8)(8-a/2)=(1/4)(64-a²/4)=（1/4)(256-a²)/4=(256-a²)/16.(5)于是由（2)(5）得：(256-a²)/16=a²-256+4bc∴bc=（1/4)[（256-a²)/16+(256-a²)]=17(256-a²)/64.(6)由（3）得：bc=4RS/a=24S/a=(24/a)(256-a²）/16=3（256-a²)/2a.(7)由（6）（7）得：17(256-a²)/64=3（256-a²)/2a即 17/64=3/2a∴a=96/17故sinA=a/2R=a/12=(96/17)/12=8/17.由正弦定理得a/sinA=b/sinB=c/sinC=2RS=1/2bcsinA=4R^2 * 1/2 * sinBsinCsinA =2(R^2)*(sinBsinC)sinA=576/17 * (sinBsinC)≤576/17 * [(sinB+sinC)^2]/4=256/17当且仅当sinB=sinC=2/3时等号成立.∴S的最大值为256/17.

这个解释是对的