求解数学题目详细解题过程。l

求解数学题目详细解题过程。l

注：需要说明θ是锐角。
［解］
∵tan4θ＝n/m、tan2θ＝n/（200√3＋m），又tan4θ＝2tan2θ/［1－（tan2θ）^2］，
∴（n/m）［1－n^2/（200√3＋m）^2］＝2n/（200√3＋m），
∴（200√3＋m）^2－n^2＝2m（200√3＋m），
∴（200√3＋m）^2－2m（200√3＋m）＋m^2＝m^2＋n^2，
∴［（200√3＋m）－m］^2＝m^2＋n^2，
∴m^2＋n^2＝120000。······①
－－－－－
∵tan2θ＝n/（200√3＋m）、tanθ＝n/（600＋200√3＋m），
又tan2θ＝2tanθ/［1－（tanθ）^2］，
∴［n/（200√3＋m）］［1－n^2/（600＋200√3＋m）^2］＝2n/（600＋200√3＋m），
∴（600＋200√3＋m）^2－n^2＝2（200√3＋m）（600＋200√3＋m），
∴［（600＋200√3＋m）－（200√3＋m）］^2＝（200√3＋m）^2＋n^2，
∴（200√3＋m）^2＋n^2＝360000。······②
－－－－－
②－①，得：（200√3＋m）^2－m^2＝240000，
∴［（200√3＋m）＋m］［（200√3＋m）－m］＝240000，
∴400√3·（100√3＋m）＝240000，
∴√3（100√3＋m）＝600，∴300＋√3m＝600，∴√3m＝300，∴m＝100√3。
－－－－－
∵m^2＋n^2＝120000，m＝100√3，∴30000＋n^2＝120000，∴n^2＝9000，∴n＝300。
∴tan4θ＝n/m＝300/（100√3）＝√3，∴4θ＝60°，∴θ＝15°。
综上所述，得：θ＝15°、m＝100√3、n＝300。