用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式 (1+ 1 3 )(1+ 1 5 )…(1+ 1 2

用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式 (1+ 1 3 )(1+ 1 5 )…(1+ 1 2n-1 )＞ 2n+1 2 成立．

证明：①当n=2时，左端=1+
1
3 =
4
3 ，右端=



5
2 ，又知
16
9 ＞
5
4 ，∴左端＞右端，即当n=2时有原不等式成立．
②假设当n=k时，有原不等式成立，即 (1+
1
3 )(1+
1
5 )…(1+
1
2k-1 )＞



2k+1
2 成立，
那么当n=k+1时，有 (1+
1
3 )(1+
1
5 )…(1+
1
2k-1 )(1+
1
2k+1  ) ＞



2k+1
2 (1+
1
2k+1 ) =
k+1



2k+1
又4k 2 +8k+4＞4k 2 +8k+3，∴ 4 (k+1) 2 ＞


2k+1 ?


2k+3
即
k+1



2k+1 ＞



2k+3
2 ，即 (1+
1
3 )(1+
1
5 )…(1+
1
2n-1 )＞



2n+1
2 对n=k时成立，
综上，由①②知，对一切大于1的自然数n，不等式 (1+
1
3 )(1+
1
5 )…(1+
1
2n-1 )＞



2n+1
2 成立．

令f(n)=2^n+2-n 求f（n）的导数 f'（n）= ln2*2^n-1 当x≥1时 f'（n）恒大于等于0 而函数值f(1)>0 且此函数在[1,+∞)上递增。此函数在[1,+∞)上恒大于0 所以对于一切自然数n（n不小于1） 总有2^n+2>n 有不对的地方再追问吧。。