二次函数的问题。

在平面直角坐标系中，已知二次函数y=a（x-1）2+k 的图像与x轴相交于点A、B，顶点为C，点D在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD 是一个边长为2且有一个内角为六十度的菱形，求此二次函数解析式。[y=a（x-1）2+k 中的“2”是指（x-1）的平方]

⑴当C在第一图象，∠ACB=60°时，∵AC=2，C 为（1，k）
∴C为（1，√3），A为（0，0），B为（2，0），（连接四边形ACBD对角线，解直角三角形可得）
∴y=-√3(x-1)^2+√3
当C在第四图象y=√3(x-1)^2+√3
⑵当C在第一图象，∠ACB=120°时
C为（1，1），A为（1-√3，0），B为（1+√3，0），
∴y=-1/3(x-1)^2+1
当C在第四图象y=1/3(x-1)^2+1
∴此二次函数的表达式y=±√3(x-1)^2+√3或y=±1/3(x-1)^2+1

二次函数y=a（x-1）2+k 的图像与x轴相交于点A、B的横坐标是下方程的两个解：

　　　a(x-1)^2+k=0

ax^2-2ax+1+k=0

设Ａ、Ｂ的坐标为(x1,y1)(x2,y2)，设ＡＢ与ＣＤ交点为Ｅ

由韦达定理有：x1+x2=2 x1x2=(1+k)/a

(1)若ＡＢＣＤ的内角Ｃ为６０°，则三角形ＡＢＣ、ＡＢＤ是等边三角形，ＡＢ＝ＡＣ＝ＢＣ＝２

AB=x2-x1=2 故x2=2 x1=0 x1x2=（１＋Ｋ）/a=0 k=-1

则ＣＥ＝１　因ＣＥ是等边三角形的高，应为√3/2 ，矛盾，故已知条件内角为６０°不能是角Ｃ；

（２）角Ａ＝６０°，则ＡＣＤ与ＢＣＤ是等边三角形，ＡＢ＝2AE＝２× √3/２＝√3

即x2-x1=√3　x2=(2+√3}/2 x1=(2-√3}/2

x1x2=(2+√3}/2×(2-√3}/2=1/4=(1+k)/a

由于Ｃ是抛物线顶点，坐标为(1,k),CE=AC/2=1

故Ｋ＝１或－１（去掉）

1/4=(1+1)/a

a=8

故抛物线方程为：y=8(x-1)^2+1

y=a（x-1）2+k

其顶点坐标为（1.k)

A(1-√K/a.0)B为（1+√K/a.0)

根据题意

AB=2=2√K/a

k/a=1

k=a

A(0.0)B为（2.0)

2^2=1+k^2

k^2=3

k=±√3

此二次函数解析式y=√3(x-1)^2+√3

或y=-√3(x-1)^2-√3