有关周期函数的题

已知函数f(x)=2sinx的平方+2倍的跟3sinxcosx+1,求： （1）f(x)的最小正周期； （2）f(x)的单调递增区间 （3）f(x)在[0，π/2]上的最值 要过程，越多奖励越高，糊弄人不给分

∵sin(2x)=2sinxcosx

cos(2x)=1-2(sinx)^2

∴2(sinx)^2=1-cos(2x)

∴2(sinx)^2+2√3sinxcosx+1=1-cos(2x)+√3sin(2x)+1=3sin(2x)-cos(2x)+2

=2[sin(2x)cos(π/6)-cos(2x)sin(π/6)]+2=2sin(2x-π/6)+2

函数的解析式就变为:

f(x)=2sin(2x-π/6)+2

(1)f(x)的最小正周期为2π/2=π

(2)正弦函数y=sinx的单调递增区间是[2kπ-π/2,2kπ+π/2],k是整数

解不等式:2kπ-π/2≤2x-π/6≤2kπ+π/2,得:

kπ-π/6≤x≤kπ+π/3

所以,f(x)的单调递增区间是[kπ-π/6,kπ+π/3],k是整数

(3)∵x∈[0，π/2],即0≤x≤π/2,那么:

-π/6≤2x-π/6≤5π/6

∵正弦函数y=sinx在[-π/6,5π/6]上的最小值是sin(-π/6)=-1/2,最大值是sin(π/2)=1

∴f(x)=2sin(2x-π/6)+2在[0,π/2]上的最小值是2sin(-π/6)+2=2*(-1/2)+2=1

,最大值是2sin(π/2)+2=2*1+2=4

(1).由上面f(x)的化简式知:T=2nπ/2=nπ。n为整数，则最小正周期为π。

(2).f(x)的单调增区间。

已知f (x)=sinx在区间[2nπ-π/2,2nπ+π/2]单调递增，则在当

2nπ-π/2≤2x-π/6≤2nπ+π/2时，单调递增。即nπ-π/6≤x≤nπ+π/3时，单调递增。

即单调递增区间为[nπ-π/6,nπ+π/3].

(3).当n=0时，单调递增区间为[-π/6,π/3]；n=1时，单调递增区间为[5π/6,4π/3]。

而现在求f(x)在[0,π/2]上的最值。则将[0,π/2]分段，可得：[0,π/3]，[π/3,π/2]。

而f(x)在[0,π/3]单调递增，则有极小值为f(0)=-1+2=1,极大值:f(π/3)=2+2=4。

而函数f(x)在[π/3,π/2]单调递减，则有极小值f(π/2)=1+2=3，极大值f(π/3)=2+2=4。

综上函数在区间[0，π/2]中，极大值有1个为4，极小值有2个，分别在当x=0时为1，x=π/2时为3。