如何推出1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
答案:2 悬赏:70 手机版
解决时间 2021-03-03 16:10
- 提问者网友:心牵心
- 2021-03-03 06:45
如何推出1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
最佳答案
- 五星知识达人网友:骨子里都是戏
- 2021-03-03 08:16
证法一 (归纳猜想法): 1、N=1时,1=1(1+1)(2×1+1)/6=1 2、N=2时,1+4=2(2+1)(2×2+1)/6=5 3、设N=x时,公式成立,即1+4+9+…+x2=x(x+1)(2x+1)/6 则当N=x+1时, 1+4+9+…+x2+(x+1)2=x(x+1)(2x+1)/6+(x+1)2 =(x+1)[2(x2)+x+6(x+1)]/6 =(x+1)[2(x2)+7x+6]/6 =(x+1)(2x+3)(x+2)/6 =(x+1)[(x+1)+1][2(x+1)+1]/6 也满足公式 4、综上所述,平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立,得证.证法二 (利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1) : (n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1, n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1 . 3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1 2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1. 把这n个等式两端分别相加,得: (n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n, 由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2, 代入上式得: n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n 整理后得: 1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
全部回答
- 1楼网友:行路难
- 2021-03-03 08:27
谢谢了
我要举报
如以上问答信息为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息,可以点下面链接进行举报!
大家都在看
推荐资讯