圆锥摆 问题

圆锥摆 问题

圆锥摆的装置如下图。

绳长是L，小球质量是 m，绳子偏离竖直方向的夹角是θ。

　　小球受到重力 mg，绳子拉力　F拉。它们的合力是水平的，提供为向心力  F向。
显然，F向＝m* ω^2 * r　　，ω是角速度，r 是圆轨迹的半径
而　F向 / (mg)＝tanθ
所以　(mg)*tanθ＝m* ω^2 * r
即　g *tanθ＝ ω^2 * r
由几何关系知，r / L＝sinθ 
tanθ＝sinθ / cosθ＝sinθ / 根号[ 1－( sinθ)^2 ]＝( r / L ) /  根号[ 1－( r / L)^2 ]＝r / 根号( L^2－ r ^2)
所以　ω＝根号（g *tanθ / r）＝根号[ g / 根号( L^2－ r ^2) ]


1、本题第一问中，已知运动半径 r ，绳长为L，所以角速度是　ω＝根号[ g / 根号( L^2－ r ^2) ]
2、本题第二问中，L＝10厘米＝0.1米，r ＝6厘米＝0.06米，得频率是
 f＝ω / ( 2π )＝｛根号[ g / 根号( L^2－ r ^2) ] ｝/ ( 2π )
＝｛根号[ 10 / 根号(0.1^2－ 0.06 ^2) ] ｝/ ( 2*3.14 )
＝1.78  赫兹
向心加速度是　a向＝ω^2 * r＝[  g / 根号( L^2－ r ^2) ] * r
得　a向＝[  10 / 根号( 0.1^2－ 0.06 ^2) ] * 0.06＝7.5  m/s^2
3、当小球质量 m＝0.1千克时，绳子拉力大小是
F拉＝根号 [ (mg)^2＋F向^2 ]
＝根号 [ (mg)^2＋ (m*a向)^2 ]
＝根号[ ( 0.1*10)^2＋( 0.1* 7.5)^2 ]
＝ 1.25　牛