一道高一简单的数学题 十万火急

已知x满足2（㏒0.5 x）²+7㏒0.5 x﹢3≤0，求函数f(x)=(㏒2 x／2)(㏒2 x／4)的最值

详细过程

急 谢谢

令t=㏒0.5 x 则2t²+7t+3≤0 则-3≤t≤-1/2

t=㏒0.5 x=㏒（1/2）x=-㏒2x 则-㏒2x=-t

则f(x)=(㏒2 x／2)(㏒2 x／4)=(-t/2)(-t/4)=t²/8（-3≤t≤-1/2）

1/32≤f(x)≤9/8

（㏒0.5 x）²+7㏒0.5 x﹢3≤0

可化为

(㏒2 (x)）²-7㏒2(x)﹢3≤0

ｘ满足： (7-sqrt(37))/2<=㏒2(x)<=(7+sqrt(37))/2

f(x)=(㏒2 x／2)(㏒2 x／4)=(㏒2 x-1)(㏒2 x-2)=(㏒2 x-3/2)^2-1/4　

　　当㏒2(x)＝3/2时，最小值为-1/4,此时ｘ满足己知条件

当㏒2(x)<3/2时，减

当㏒2(x)>3/2时，增

故当㏒2(x)＝(7+sqrt(37))/2时，f(x)取最大值＝（(7+sqrt(37))/2-3/2)^2-1/4

=(2+sqrt(37)/2)^2-1/4

=4+2sqrt(37)+37/4-1/4

=13+2sqrt(37)

将log0.5底x看成一个整体，设为t，解得t的范围是[-3，负二分之一]这样，log2底x的范围就是[二分之一，3】，然后这道题就变成二次函数求最值得问题了

解

由已知得，㏒0.5 x≤3/11,所以，㏒2 x >=3/11,

f(x)=(㏒2 x-1)(㏒2 x-2)=(㏒2 x-1.5)² - 0.25

所以，最小值为f(x)=—0.25,

此时，㏒2 x-1.5=0,

x=2倍根号2