数学高手快来，要详细！设0<a.b.c<1.求证(1-a)b.(1-b)c，(1-c)a不同时大于1/4
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解决时间 2021-03-24 05:18
- 提问者网友：無理詩人
- 2021-03-23 15:18
数学高手快来，要详细！设0<a.b.c<1.求证(1-a)b.(1-b)c，(1-c)a不同时大于1/4
最佳答案
- 五星知识达人网友：山有枢
- 2021-03-23 16:27
我lpad不方便先告诉你思路，连乘a和（1-a)乘一起然后配方变成四分之一减一个平方开小于四分之一的3次方。要是不明白明天白天给你详细的.
(1-a)b*(1-B)c*(1-c)a=(1-a)a*(1-b)b*(1-c)c=(a-aa)(b-bb)(c-cc)=(1/4-(1/2-a)(1/2-a))(...)(...)
1/4-(1/2-a)(1/2-a))<=1/4同理其他两个也是
3个乘积小于1/4的3次方，3个因子不同时大于0.25
(1-a)b*(1-B)c*(1-c)a=(1-a)a*(1-b)b*(1-c)c=(a-aa)(b-bb)(c-cc)=(1/4-(1/2-a)(1/2-a))(...)(...)
1/4-(1/2-a)(1/2-a))<=1/4同理其他两个也是
3个乘积小于1/4的3次方，3个因子不同时大于0.25
全部回答
- 1楼网友：轻熟杀无赦
- 2021-03-23 19:48
用反证法证明: 假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4 即(1-a)b>1/4 (1-b)c>1/4 ,(1-c)a>1/4 由 (1-a)b>1/4 得(1-a)ab>a/b （∵00 ∴（1-a)a≤[（1-a） +a ]的和的1/2的平方=1/4 而b>0 ∴(1-a)ab≤b/4 【2】 由【1】与【2】 得 a/4<(1-a)ab≤b/4 ∴a/4
望楼主采纳
- 2楼网友：神鬼未生
- 2021-03-23 19:14
望楼主采纳
- 3楼网友：何以畏孤独
- 2021-03-23 17:49
用反证法证明：
假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4
因0所以有
√[(1-a)b]>1/2,√[(1-b)c]>1/2,√[1-c)a]1/2
则
√(1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2 (*)
而由基本不等式：a,b∈R+, a+b≥2√(ab), 有
√((1-a)b)≤(1-a+b)/2，
√((1-b)c)≤(1-b+c)/2，
√((1-c)a)≤(1-c+a)/2
以上三式相加：
√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)≤3/2
这与假设得到的：√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2 (*)矛盾
所以假设不成立,
故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于1/4 即(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a，不可能同时大于1/4
假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4
因0所以有
√[(1-a)b]>1/2,√[(1-b)c]>1/2,√[1-c)a]1/2
则
√(1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2 (*)
而由基本不等式：a,b∈R+, a+b≥2√(ab), 有
√((1-a)b)≤(1-a+b)/2，
√((1-b)c)≤(1-b+c)/2，
√((1-c)a)≤(1-c+a)/2
以上三式相加：
√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)≤3/2
这与假设得到的：√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2 (*)矛盾
所以假设不成立,
故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于1/4 即(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a，不可能同时大于1/4
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