已知方程(x²-2x+m)(x²-2x+n)=0的四个根组成一个首项为1/4的等差数列，则|m-n|=？

A.1 B.3/4 C.1/2 D.3/8

要详细解答。谢谢。

(x²－2x＋m)(x²－2x＋n) = 0有四个根，其中两根为x²－2x＋m=0的两根，另外两根为x²－2x＋n=0的两根。设x1，x2为x²－2x＋m=0的两根，x3，x4为x²－2x＋n=0的两根。根据韦达定理，
x1 + x2 = 2，
x3 + x4 = 2。
可见x1与x2的和等于x3与x4的和。由于x1,x2,x3,x4可组成一等差数列，注意到4个数组成的等差数列中，第一项与第四项的和等于第二项与第三项的和。可知x1，x2分别为等差数列中的第一和第四项或分别为等差数列中的第二和第三项。不妨设x1，x2分别为第一和第四项，则x3和x4分别为第二和第三项，并令公差为d。则有
x1 = 1/4，x2 = 1/4 + 3d，x3 = 1/4+d，x4 = 1/4 + 2d。
根据x1 + x2 = x3 + x4 = 2可知，1/4 + 1/4 + 3d = 2，即d = 1/2。
根据韦达定理，
m = x1 x2 = 1/4(1/4 + 3d) = 1/16 + 3d/4；
n = x3 x4 = (1/4 + d) (1/4 + 2d) = 1/16 + 3d/3 + 2d²。
则|m - n| = 2d² = 1/2。

C.1/2

解：由题意 x = 1/4 是一元四次方程 (x² - 2x + m)(x² - 2x + n) = 0 的一个根，由轮换性，不妨x = 1/4 是(x² - 2x + m) = 0 的根 ，这样 1/16 – 1/2 + m = 0 => m = 7/16 => x1 = 1/4 和 x2 = 7/4 ，讨论 7/4 是这个等差数列的哪一项：

如果等差数列为 1/4 ，7/4 ，13/4 ，19/4 ，那么x = 13/4 ，19/4是 (x² - 2x + n) = 0 的根 ，由韦达定理x3 + x4 应该 等于2 （13/4 + 19/4 > 2 ，因此舍去）

如果等差数列为 1/4 ，4/4 ，7/4 ，10/4 ，那么x = 4/4 ，10/4是 (x² - 2x + n) = 0 的根 ，由韦达定理x3 + x4 应该 等于2 （4/4 + 10/4 > 2 ，因此舍去）

如果等差数列为 1/4 ，3/4 ，5/4 ，7/4 ，那么x = 4/4 ，10/4是 (x² - 2x + n) = 0 的根 ，由韦达定理x3 + x4 = 2 ，x3 * x4 = n = 5/2  ；

这样 |m - n| = |7/16 - 5/2| = 33/16  。（由轮换性，答案唯一）