高等数学 泰勒公式和马克劳林公式有什么不同？

高等数学 泰勒公式和马克劳林公式有什么不同？

f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+...+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n （泰勒公式，最后一项中n表示n阶导数）

f(x)=f(0)+f'(0)*x+f''(x)/2!*x^2+...+f(n)(0)/n!*x^n （麦克劳林公式公式，最后一项中n表示n阶导数）

1.如果存在一个泰勒级数，那么这个泰勒级数在某一数的邻域内一定收敛于这个函数f(x)吗？ 答：不一定。事实是，如果由一个f(x)，得到了它所对应的泰勒级数，而且，这个泰勒级数是收敛的，在这种情况下，并不能保证这个泰勒级数一定收敛于这个函数f(x)。换句话理解，就是，这个收敛的泰勒级数的和函数有可能是另一个不同于f(x)的s(x)。那么，保证这个收敛的泰勒级数收敛于这个函数f(x)，即，以f(x)为其和函数所需要的充要条件，就是“f(x)的泰勒公式中的拉格朗日余项在当n->∞的极限为零”。我们把，这个泰勒级数收敛，并且收敛于这个函数f(x)，叫做“f(x)可展开成泰勒级数”。注意这就是“可展开成”的含义。 2.答：如果f(x)在x0=0处具有各阶导数，那么，可以作出f(x)所对应的麦克劳林级数，仅此而已。至于“该级数是否能在某个区间内收敛，以及是否收敛于f(x)，却需要进一步考察。”再进一步说，即使该级数收敛于函数s(x)，s(x)也不一定就是f(x)，此同问题1。 3“只有f(x)先能展开成泰勒级数，才有麦克劳林级数的展开，并收敛于在x0=0的邻域各阶导数存在的f(x)”这句话有误。 一是展开成泰勒级数，或者麦克劳林级数，并没有先后之关系。所谓泰勒级数，是对于一般性的x0讨论的；而麦克劳林级数，是当x0=0时的情况。所以，麦克劳林级数是泰勒级数的特例而已。例如对于泰勒级数的x0，可以考虑取x0=4，等等。 二是对于“并收敛于在x0=0的邻域各阶导数存在的f(x)”这句话，同问题2与1的解答，即，作出f(x)所对应的级数；该级数是否收敛；是否收敛于f(x)，这是3件事。