定积分证明题设f(x)在(-∞,+∞)上连续,F(x)=∫(2x-4t)f(t)dt（从0到x）,若f(x)为奇函数,（

定积分证明题
设f(x)在(-∞,+∞)上连续,F(x)=∫(2x-4t)f(t)dt（从0到x）,若f(x)为奇函数,
（1）证明F(x)为奇函数
（2）讨论F(x)满足什么条件,F(x)在(-∞,+∞)上单调递增

（1）F(x)=∫(从0到x) (2x-4t)f(t)dt
F(-x)=∫(从0到-x) (-2x-4t)f(t)dt 令t=-y,dt=-dy,t从0到-x,y从0到x
=∫(从0到x) (-2x+4y)f(-y)(-dy) f(x)为奇函数,故f(-y)=-f(y)
=∫(从0到x) (-2x+4y)f(y)dy
=- ∫(从0到x) (2x-4y)f(y)dy
=-∫(从0到x) (2x-4t)f(t)dt=-F(x)
故F(x)为奇函数 .
（2）由于F(x)为奇函数,要想在(-∞,+∞)上单调递增,只需在[0,+∞)单调递增.
当x≥0时,只需
F'(X)=d[∫(从0到x) (2x-4t)f(t)dt]/dx
=d[∫(从0到x) 2xf(t)dt-∫(从0到x) 4tf(t)dt]/dx
=d[2x∫(从0到x) f(t)dt-∫(从0到x) 4tf(t)dt]/dx
=2∫(从0到x) f(t)dt+2x*f(x)-4xf(x)
=2∫(从0到x) f(t)dt-2x*f(x)
=2x[f(ξ)-f(x)]≥0恒成立,对0