对偶式的对偶式定理

对偶式的对偶式定理

在命题逻辑中的对偶式：在仅含有联结词与（∧）、或（∨）、非（┐）的命题公式A中，将∨换成∧，∧换成∨，若A中还含有0或1，则还需将其中的0换成1，1换成0，，所得到的新命题公式A*就是A的对偶式。例如，命题公式A=┐(P∧0)的对偶式A*=┐(P∨1)。
定理1：A和A*是互为对偶式，P，P2，...，Pn是出现在A和A*的原子变元，则 ┐A(P,...,Pn) <=> A*┐P,...┐Pn)； A(┐P,...Pn) <=> ┐A*(P,...,Pn)；即公式的否定等值于其变元否定的对偶式。例子：De Morgan定律 ┐(P∧Q)=┐P∨┐Q。
定理2: 设A*，B*分别是A和B的对偶式，如果A<=>B，则A*<=>B*。这就是对偶原理。如果证明了一个等值公式，其对偶式的等值同时也立。可以起到事半功倍的效果。
在离散数学中，任一命题公式的主析取范式和它的主合取范式互为对偶式。