初中二次函数的特点

什么特点都写上吧

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
  y=ax^2+bx+c
  （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。）
  则称y为x的二次函数。
  二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
  x是自变量，y是x的函数
[编辑本段]二次函数的三种表达式
  ①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
  ②顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k
  ③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)
  以上3种形式可进行如下转化：
  ①一般式和顶点式的关系
  对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即
  h=-b/2a=(x1+x2)/2
  k=(4ac-b^2)/4a
  ②一般式和交点式的关系
  x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
[编辑本段]二次函数的图像
  在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，
  可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
[编辑本段]抛物线的性质
  1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
  对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
  特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
  2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )
  当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
  3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
  当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
  |a|越大，则抛物线的开口越小。
  4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
  当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
  当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
  5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
  抛物线与y轴交于（0，c）
  6.抛物线与x轴交点个数
  Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
  Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
  _______
  Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
  当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
  当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
  7.定义域：R
  值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）
  奇偶性：偶函数
  周期性：无
  解析式：
  ①y=ax^2+bx+c[一般式]
  ⑴a≠0
  ⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；
  ⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；
  ⑷Δ=b^2-4ac,
  Δ＞0，图象与x轴交于两点：
  （[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；
  Δ＝0，图象与x轴交于一点：
  （-b/2a，0）；
  Δ＜0，图象与x轴无交点；
  ②y=a(x-h)^2+t[配方式]
  此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；
[编辑本段]二次函数与一元二次方程
  特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
  当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
  即ax^2+bx+c=0
  此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
  函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
  1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
  解析式
  y=ax^2
  y=a(x-h)^2
  y=a(x-h)^2+k
  y=ax^2+bx+c
  顶点坐标
  (0，0)
  (h，0)
  (h，k)
  (-b/2a，sqrt[4ac-b^2]/4a)
  对 称 轴
  x=0
  x=h
  x=h
  x=-b/2a
 
  当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
  当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
  当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
  因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
  2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．
  3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．
  4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
  (1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
  (2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
  (a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x₂-x₁| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）
  当△=0．图象与x轴只有一个交点；
  当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．
  5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
  顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
  6．用待定系数法求二次函数的解析式
  (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
  y=ax^2+bx+c(a≠0)．
  (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
  (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．