为什么f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数时，f(x)关于（1，0）中心对称？
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解决时间 2021-11-14 08:38
- 提问者网友：不爱我么
- 2021-11-14 02:40
为什么f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数时，f(x)关于（1，0）中心对称？
最佳答案
- 五星知识达人网友：佘樂
- 2021-11-14 03:38
设g（x）=f（x+1），h（x）=f（x-1）
依题意知：g（x）和h（x）为奇函数
所以g（-x）+g（x）=f（x+1）+f（-x+1）=0……（1）
h（-x）+h（x）=f（x-1）+f（-x-1）=0……（2）
设f（x）上任意一点（a，b）关于（1，0）的对称点（h，k）
b=f（a）
h=2-a，k=-f（a）
需要证明k=f（h）=-f（a）=f（2-a）
及f（a）+f（2-a）=0……（3）
设x+1=a，x=a-1，-x+1=-（a-1）+1=2-a
由（1）知：f（a）+f（2-a）=0，所以（3）式成立
那么说明f（x）上的任意一点（a，b）关于（1，0）的对称点（h，k）也在函数y=f（x）上
即f(x)关于（1，0）中心对称
依题意知：g（x）和h（x）为奇函数
所以g（-x）+g（x）=f（x+1）+f（-x+1）=0……（1）
h（-x）+h（x）=f（x-1）+f（-x-1）=0……（2）
设f（x）上任意一点（a，b）关于（1，0）的对称点（h，k）
b=f（a）
h=2-a，k=-f（a）
需要证明k=f（h）=-f（a）=f（2-a）
及f（a）+f（2-a）=0……（3）
设x+1=a，x=a-1，-x+1=-（a-1）+1=2-a
由（1）知：f（a）+f（2-a）=0，所以（3）式成立
那么说明f（x）上的任意一点（a，b）关于（1，0）的对称点（h，k）也在函数y=f（x）上
即f(x)关于（1，0）中心对称
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