若函数y=f(x)的值域是[1/2，3]，则函数F(x)=f(x)+1/f(x)的值域是？

要详细的过程

函数y=f(x)的值域是[1/2,3],
f(x)>0
F(x)=f(x)+1/f(x)>=2
当且仅当f(x)=1/f(x)，即f(x)=1 (负舍）时成立!
所以f(x)的最小值为：2

证明下单调性！
对于f(x)=x+1/x (x>1)
设1<x1<x2<+无穷
f(x2)-f(x1)=x2-x1+1/x2-1/x1=(x2-x1)(1-1/x1x2)
x1x2>1 1-x1x2>0
函数在x>0时，单调递增！

对于f(x)=x+1/x (0<x<1)
设0<x1<x2<1
f(x2)-f(x1)=x2-x1+1/x2-1/x1=(x2-x1)(1-1/x1x2)
x1x2<1 1-x1x2<0
函数在0<x<1时，单调递减！

这样我们就知道了F(f(x))在〔1/2,1)上单调递减！在（1，3]上单独递增！
所以最大值在f(x)=1/2时或者＝3时
f(x)=1/2
F(x)=1/2+2=5/2
f(x)=3
F(x)=3+1/3=10/3
所以最大值为10/3

所以值域为[2, 10/3]。

利用均值不等式可得

f(x)+1/f(x)>=2乘根号(1/2乘3)

f(x)+1/f(x)>=2乘根号3

最大值可以看吃是f(x)取3 1/f(x)取1/2时取得5

身体F(x)的值域[2乘根号3，5]

首先，y是大于0的。然后F(x)=y+1/y你要判断它有无最值， 经过判断 当y=1时有最小值F(x)=2 然后将f(x)有范围，讲1/2和3代入哪个更大则F(3)>F(2) 所以F(x)值域【2，10/3】

有均值不等式得F(x)=f(x)+1/f(x)≥2

当且仅当f(x)=1/f(x)，即f(x)=1时取等号

易知F(x)是勾函数，其图像为勾形，且在f(x)=1时，F(x)取最小值

结合图像，可得F(x)min=F(1)=2

F(x)max=F(3)=10/3