已知P是抛物线 y^2=2x上的一个动点,过P作圆(x-3)^2+y^2=1 的切线,切点分别为M、

已知P是抛物线 y^2=2x上的一个动点,过P作圆(x-3)^2+y^2=1 的切线,切点分别为M、

可设点P(2a²,2a).易知,圆C：(x-3)²+y²=1的圆心C(3,0),半径r=1.设PC与MN交于点H,易知,⊿MCH∽⊿PCM∴MH∶PM=MC∶PC∴MH=PM/PC又PM²=PC²-1∴MN=2√[1-(1/PC²)]∴问题可化为求PC²的最小值.易知PC²=(2a²-3)²+(2a)²=4(a²-1)²+5≧5.等号仅当a²=1时取得,∴PC²min=5∴MNmax=2√[1-(1/5)]=(4√5)/5======以下答案可供参考======供参考答案1:当P到圆心的距离最小时，MN为最小值。供参考答案2:设抛物线y^2=2x上的动点为P(a、b），则b^2=2a 圆（x-3)^2+y^2=1 ,圆心为C(3,0) ,半径为r=1连接PC交MN于点E将圆的方程变为：x^2+y^2-6x+8=0则点P到圆C的切线长为|PM|=|PN|=√(a^2+b^2-6a+8)=√(a^2+2a-6a+8)=√(a^2-4a+8)|PC|^2=|pm|^2+|CM|^2=a^2-4a+8+1=a^2-4a+9由平面射影定理知:|CM|^2=|PC|×|CE|即1^2=[ √(a^2-4a+9)]×|CE|∴|CE|^2=1/(a^2-4a+9)|ME|^2=|CM|^2-|CE|^2=1-1/( a^2-4a+9) (a≥0)∵a^2-4a+9=(a-2)^2+5≥5∴|ME|^2 ≥4/5∴|ME|≥2/√5|MN|=2|ME|≥(4√5)/5|MN|的最小值是（4√5）/5

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