一道高中的数学的题目

已知直线:3x+4y-12=0,M是直线上一动点,过M作x,y轴的垂线,垂足分别为A.B,求在A,B上且分有向线段AB所成的比为2的点P的轨迹方程.

由题意设点M(x1,y1)。则有A(x1,0),B(0,y1)。AP/PB=2:1。

而由题意知:当M为(0,3)时,点P坐标为(0,2)。当M为(4,0)时，点P坐标为(8/3,0)。

当M是(0,3)或(4,0)外的任意属于直线3x+4y-12=0上的一点时，有OP为直角三角形AOB上斜边AB的三等分点。故角POA=60°。则点P坐标为:(x2,y2)。则可得：y2=2y1/3。x2=2x1/3。则有x1=3x2/2。y1=3y2/2。

故M点坐标为(3x2/2，3y2/2)。而显然当x2=0,y2=2时，M为(0,3)。当x2=8/3,y2=0时，M为(4,0)。

而M点属于直线3x+4y-12=0。而3x1+4y1-12=0。则3*(3x2/2)+4*(3y2/2)-12=0。

即为9x2+12y2-24=0。故点P轨迹方程为:9x+12y-24=0。

解：设长X，宽Y. 2(X+Y)=54,X=3Y+3

M(X,-3X/4+3),A(X,0),B(0,-3X/4+3),P(a,b),

a=x/3,x=3a,b=2(-3x/4+3)/3=-3a/2+2,

P的轨迹方程:y=-3x/2+2.