高二数学难题，急需解答

已知椭圆x^2/25+y^2/9=1 上不同的三点，A(x1 ,y1),B(4 ,9/5),C(x2 ,y2) 与焦点F(4 ,0)的距离成等差数列

(1)试证明：x1+x2=8

(2) 若线段AC的垂直平分线与x轴交点为T，求直线BT的斜率k

(1)由题知：a=5，b=3，c=4

由椭圆的第二定义，知：

|AF|/(a²/c-x1)=c/a

∴|AF|=a-cx1/a=5-4x1/5

同理，得：|CF|=5-4x2/5

∵|AF|+|CF|=2|BF|，且|BF|=9/15

∴(a-ex1)+(a-ex2)=2(a-exB)

即(5-4x1/5)+(5-4x2/5)=18/5

得：x1+x2=2xB=8

(2)∵线段AC的中点为(4，(y1+y2)/2)

∴其中垂线方程为y-(y1+y2)/2=(x1-x2)/(y1-y2)×(x-4)

又点T在x轴上，设其坐标为(x0，0)

代入上式，得：x0-4=(y1²-y2²)/2(x1-x2)①

∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在椭圆上

∴y1²=9/25(25-x1²)

y2²=9/25(25-x2²)

∴y1²-y2²=-9/25(x1+x2)(x1-x2)

代入①，并结合x1+x2=8，得：

x0-4=-36/25

∴kBT=(9/5-0)/(4-x0)=5/4

解：

点A(x1,y1)B(4,9/5)C(x2,y2)与F(4,0)的距离成等差数列 可知AF+CF=18/5 根据椭圆性质到焦点距离与到准线的距离比为离心率e 显然F点为椭圆的焦点。 则AF=e(a²/c-x1),CF=e(a²/c-x2) 则AF+CF=5-4x1/5+5-4x2/5=18/5 x1+x2=8 x1²/25+y1²/9-x2²/25-y2²/9=0 (x1+x2)/25+(y1+y2)(y1-y2/9(x1-x2) 则k=-9（x1+x2)/25(y1+y2) AC垂直平分线为：y-(y1+y2)/2=25(y1+y2)(x-4)/72 令y=0，则x=4-36/25=364/25 则kbt=9/5/(4-364/25)=5/4