求椭圆所有相互垂直的两条切线的交点的轨迹方程。
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解决时间 2021-02-14 18:34
- 提问者网友：焚苦与心
- 2021-02-14 08:39
求椭圆所有相互垂直的两条切线的交点的轨迹方程。
最佳答案
- 五星知识达人网友：爱难随人意
- 2021-02-14 09:26
解：
令抛物线方程为 y^2=2px (p>0) ①
令切线方程为 y＝kx＋m ②
将①代入②整理得 k^2x^2+(2km-2p)x+m^2=0
令△＝(2km-2p)^2-4k^2m^2=4p(p-2km)=0
因为 p≠0
所以 p－2km＝0
k＝p／（2m）
所以
切线方程1 ： y＝px／（2m1）＋m1 ③
切线方程2 ： y＝px／（2m2）＋m2 ④
③－④
px／2（1／m1－1／m2）＋m1－m2＝0
（m2－m1）（px／（2m1m2）－1）＝0
因为 m2≠m1
所以 px／（2m1m2）－1＝0 ⑤
又因为 两切线垂直，所以 k1k2＝－1
即 p／（2m1）×p／（2m2）＝－1 ，整理得到 m1m2＝－p^2/4
代入 ⑤ 整理得到：
x＝－p／2
令抛物线方程为 y^2=2px (p>0) ①
令切线方程为 y＝kx＋m ②
将①代入②整理得 k^2x^2+(2km-2p)x+m^2=0
令△＝(2km-2p)^2-4k^2m^2=4p(p-2km)=0
因为 p≠0
所以 p－2km＝0
k＝p／（2m）
所以
切线方程1 ： y＝px／（2m1）＋m1 ③
切线方程2 ： y＝px／（2m2）＋m2 ④
③－④
px／2（1／m1－1／m2）＋m1－m2＝0
（m2－m1）（px／（2m1m2）－1）＝0
因为 m2≠m1
所以 px／（2m1m2）－1＝0 ⑤
又因为 两切线垂直，所以 k1k2＝－1
即 p／（2m1）×p／（2m2）＝－1 ，整理得到 m1m2＝－p^2/4
代入 ⑤ 整理得到：
x＝－p／2
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