一道几何证明

在RT△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD是∠CAB的平分线,过点B作BE垂直AD，交AD的延长线与E，求证；BE=1/2AD.

由AE⊥BE，AE平分∠CAB以联想到延长AC到D，交BE延长线于F

可以借此证明出△AEF全等于△AEB

FB=2EB

证明：

延长AC到D，交BE延长线于F

因为AE⊥BF，AE平分∠CAB

∠CAD=∠DAB

AD=AD

∠FEA=∠BEA

△AEF全等于△AEB

FB=2EB

AF=AB

因为△ABC为等腰直角三角形

∠CAB=45°

计算得到∠F=67.5°，∠FBC=22.5°

因为AD平分∠CAB，∠CAB=22.5°

∠C=90°，∠ADC=67.5°

∠F=∠ADC，∠CAD=∠FBC，AC=CB

△ADC全等于△BFC

FB=AD=2EB

得证

不理解追问

设AC=1,AB=√2

那么CD/AC=(1-CD)/AB

CD=√2-1

AD²=4-2√2

sinCAD=sinEAB

(√2-1)²/(4-2√2)=BE²/2

BE²=(2-√2)/2=AD²/4

∴BE=1/2AD

用等腰三角形三线和一   AD是∠CAB的平分线也是中线  BD=BC   因为三角形ACD∽BED    AC=2则得到

AD=√5   BE=﹙√5﹚／2   所以BE=1/2AD.