设z是虚数， ω=z+ 1 z ，且-1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设 u= 1-

设z是虚数， ω=z+
1
z ，且-1＜ω＜2．
（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；
（2）设 u=
1-z
1+z ，求证：u为纯虚数．

设z=x+yi（x，y∈R，y≠0）
（1） ω=z+
1
z =(x+
x
x 2 + y 2 )+(y-
y
x 2 + y 2 )i
∵-1＜ω＜2，∴ y-
y
x 2 + y 2 =0 ，
又∵y≠0，∴x 2 +y 2 =1即|z|=1
∵ -1＜x+
x
x 2 + y 2 ＜2?-1＜2x＜2 ，
∴ -
1
2 ＜x＜1
即z的实部的取值范围是 (-
1
2 ，1)
（2） u=
1-z
1+z =
(1-x-yi)(1+x-yi)
(1+x) 2 + y 2 =
(1- x 2 - y 2 )-2yi
(1+x) 2 + y 2
∵x 2 +y 2 =1，∴ u=
-2y
(1+x) 2 + y 2 i
又∵y≠0，
∴u是纯虚数．

（1）由z是虚数，设z=a+bi（a，b∈r，b≠0）则ω＝z+ 1 z ＝a+bi+ 1 a+bi ＝a+bi+ a?bi a2+b2 ＝a+ a a2+b2 +(b? b a2+b2 )i ∵ω∈r∴b? b a2+b2 ＝0且b≠0得a2+b2=1即|z|=1 此时，ω=2a，∵-1＜ω＜2∴? 1 2 ＜a＜1即z的实部的取值范围为(? 1 2 ，1)．…（4分） （2）u＝ 1?z 1+z ＝ 1?(a+bi) 1+(a+bi) ＝ [(1?a)?bi][(1+a)?bi] (1+a)2+b2 ． ∵a2+b2=1 ∴u=? b 1+a i又b≠0，? 1 2 ＜a＜1故u是纯虚数．…（8分） （3）ω?u2＝2a+ b2 (1+a)2 ＝2a+ 1?a2 (1+a)2 =2a+ 1?a 1+a ＝2[(a+1)+ 1 a+1 ]?3 由a∈(? 1 2 ，1)知(a+1)+ 1 a+1 ≥2， 故当且仅当a+1＝ 1 a+1 ，a＝0时ω-u2的最小值为1．…（14分）．