初四数学函数题

已知抛物线y=x²+mx-2m²（m≠0)

过点P（0，n）作y轴的垂线交该抛物线于点A和B（点A在点p的左边），是否存在实数m，n，使得AP=2PB？若存在，则求出m，n满足的条件；若不存在，请说明理由。

y=n
y=x^2+mx-2m^2
两个联立
解得x1=[-m-(9m^2+4n)^(1/2)]/2
x2=[-m+(9m^2+4n)^(1/2)]/2

抛物线的对称轴为x=-m/2,抛物线开口向上
由于要使得AP=2PB,则对称轴必定要在y轴的左边，即m要大于0

上面解的 x1的绝对值即AP x2即PB
所以x1的绝对值=2*x2
最后得 4n=0
所以当n=0时，m为大于零的任何值
n不等于0时，m不存在的

y=x²+mx-2m²=(x+m/2)²-9m²/4

假设存在m,n满足AP=2PB，依题意可设B的坐标为（x0,n),则A点坐标为（-2x0,n)

那么代入抛物线方程有：

n=x0²+mx0-2m²

n=4x0²-2mx0-2m²

解得x0=m,n=0

而(x0-2x0)/2=-x0/2=-m/2,即x0=m符合上述方程组的解

此时A(-2m,0),B(m,0),P(0,0)

因此存在实数m,n使得AP=2PB,此时m>0,n=0