已知函数f(x)=5^x-1/5^x+1,x∈(-1,1) (1)证明f(x)为奇函数(2)判断f(x)在定义域上的单调性并证明
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解决时间 2021-03-24 05:31
- 提问者网友：佞臣
- 2021-03-23 05:52
已知函数f(x)=5^x-1/5^x+1,x∈(-1,1) (1)证明f(x)为奇函数(2)判断f(x)在定义域上的单调性并证明
最佳答案
- 五星知识达人网友：琴狂剑也妄
- 2021-03-23 06:26
f(x)= (5^x-1)/(5^x+1)
对任意 x∈(-1,1),
f(-x)=[5^(-x)-1]/[5^(-x)+1]
=(1-5^x)/(1+5^x)=-f(x)
所以是奇函数；
设-1
=(5^x1-1)/(5^x1+1)-(5^x2-1)/(5^x2+1)
=[(5^x1-1)(5^x2+1)-(5^x2-1)/(5^x1+1)]/[(5^x1+1)(5^x2+1)]
=[5^(x1+x2)+5^x1-5^x2-1-5^(x1+x2)+5^x1-5^x2+1]/[(5^x1+1)(5^x2+1)]
=2(5^x1-5^x2)/[(5^x1+1)(5^x2+1)]
因为 x1
从而f(x1)-f(x2)=2(5^x1-5^x2)/[(5^x1+1)(5^x2+1)]<0
即 f(x1)
f(x)
中间：x<1-x, x<1/2,
右边：1-x<1,x>0
不等式f(x)＜f(1-x)的解为：0
对任意 x∈(-1,1),
f(-x)=[5^(-x)-1]/[5^(-x)+1]
=(1-5^x)/(1+5^x)=-f(x)
所以是奇函数；
设-1
=(5^x1-1)/(5^x1+1)-(5^x2-1)/(5^x2+1)
=[(5^x1-1)(5^x2+1)-(5^x2-1)/(5^x1+1)]/[(5^x1+1)(5^x2+1)]
=[5^(x1+x2)+5^x1-5^x2-1-5^(x1+x2)+5^x1-5^x2+1]/[(5^x1+1)(5^x2+1)]
=2(5^x1-5^x2)/[(5^x1+1)(5^x2+1)]
因为 x1
从而f(x1)-f(x2)=2(5^x1-5^x2)/[(5^x1+1)(5^x2+1)]<0
即 f(x1)
f(x)
中间：x<1-x, x<1/2,
右边：1-x<1,x>0
不等式f(x)＜f(1-x)的解为：0
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