证明n(4n²–1)(16n²–1)能被5整除

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解决时间 2021-01-07 06:56

提问者网友：练爱
2021-01-06 19:34

最佳答案

五星知识达人网友：三千妖杀
2021-01-06 20:09

证明：变形：
n(4n²–1)(16n²–1)=n(2n+1)(2n-1)(4n+1)(4n–1)
=4n*(4n+2)(4n-2)/16*(4n+1)(4n–1)
=(4n-2)(4n–1)4n(4n+1)(4n+2)/16
首先，上式必为整数。
其次，由于连续五个自然数的乘积必然能被5整除，也即(4n-2)(4n–1)4n(4n+1)(4n+2)肯定是5的整数倍。那么其乘积除以16（注意16和5是互质的），必然也能被5整除。
所以，n(4n²–1)(16n²–1)能被5整除。

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1楼网友：第幾種人
2021-01-06 21:24

原式=n（2n+1）（2n-1）（4n+1）（4n-1）
如果n=5m，显然能够被5整除
如果n=5m+1，原式=（5m+1）（10m+3）（10m+1）（20m+5）（20m+4），第4项（20m+5）能够被5整除
如果n=5m+2，原式=（5m+2）（10m+5）（10m+3）（20m+9）（20m+7），第2项（10m+5）能够被5整除
如果n=5m+3，原式=（5m+3）（10m+7）（10m+5）（20m+13）（20m+12），第3项（20m+5）能够被5整除
如果n=5m+4，原式=（5m+4）（10m+9）（10m+7）（20m+17）（20m+15），第5项（20m+5）能够被5整除

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